【題目】已知函數(shù).
()若,確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
()若,且對(duì)于任意, 恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
()求證:不等式對(duì)任意正整數(shù)恒成立.
【答案】(1)單調(diào)增區(qū)間為,減區(qū)間為;(2);(3)見(jiàn)解析.
【解析】試題分析:
(1)求出導(dǎo)函數(shù),解不等式得增區(qū)間,解不等式得減區(qū)間;
(2),只要時(shí), 恒成立即可,因此利用導(dǎo)數(shù)求出在上的最小值,由此最小值大于0可得的范圍,注意對(duì)分類討論;
(3)這類證明題一般要利用上面所證函數(shù)的結(jié)論,由(2)知當(dāng)時(shí), 恒成立,分別取為可得,相加同時(shí)取即證.
試題解析:
(),∴, ,∴當(dāng)時(shí), ,當(dāng)時(shí), ,
∴單調(diào)增區(qū)間為,減區(qū)間為.
(),∴為偶函數(shù),
∴對(duì)恒成立,等價(jià)于,對(duì)恒成立,
∴,解得,
當(dāng)時(shí), ,在時(shí)成立,
∴在上為增函數(shù),∴,符合題意,
當(dāng)時(shí), ,∴時(shí), , 減,
時(shí), , 增,
∴,∴,綜上.
()證明:由()可知,當(dāng)時(shí), 恒成立,即恒成立,
,
當(dāng)時(shí), ,得證.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖, 是圓的直徑,點(diǎn)是圓上異于的點(diǎn), 垂直于圓所在的平面,且.
(1)若為線段的中點(diǎn),求證平面;
(2)求三棱錐體積的最大值;
(3)若,點(diǎn)在線段上,求的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知為橢圓的左右焦點(diǎn),點(diǎn)為其上一點(diǎn),且有
(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)過(guò)的直線與橢圓交于兩點(diǎn),過(guò)與平行的直線與橢圓交于兩點(diǎn),求四邊形的面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在圓內(nèi)畫(huà)1條線段,將圓分割成兩部分;畫(huà)2條相交線段,彼此分割成4條線段,將圓分割成4部分;畫(huà)3條線段,彼此最多分割成9條線段,將圓最多分割成7部分;畫(huà)4條線段,彼此最多分割成16條線段,將圓最多分割成11部分.那么
(1)在圓內(nèi)畫(huà)5條線段,它們彼此最多分割成多少條線段?將圓最多分割成多少部分?
(2)猜想:圓內(nèi)兩兩相交的n條線段,彼此最多分割成多少條線段?
(3)猜想:在圓內(nèi)畫(huà)n條線段,兩兩相交,將圓最多分割成多少部分?
并用數(shù)學(xué)歸納法證明你所得到的猜想.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),,
(1)求不等式的解集;
(2)若對(duì)一切,均有成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,正方形的邊長(zhǎng)為4,點(diǎn), 分別為, 的中點(diǎn),將, ,分別沿, 折起,使, 兩點(diǎn)重合于點(diǎn),連接.
(1)求證: 平面;
(2)求與平面所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示,直三棱柱中, , , ,點(diǎn), 分別是的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證: 平面;
(Ⅱ)若二面角的大小為,求直線與平面所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,側(cè)面底面,底面為矩形, 為中點(diǎn), , , .
(Ⅰ)求證: 平面;
(Ⅱ)求直線與平面所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】關(guān)于函數(shù)的性質(zhì)描述,正確的是__________.①的定義域?yàn)?/span>;②的值域?yàn)?/span>;③的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱;④在定義域上是增函數(shù).
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