Question

9．在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且滿足（c-$\sqrt{2}a$）$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}$=c$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{CB}$．
（1）求角B的大小；
（2）若|$\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BC}$|=$\sqrt{3}$，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用向量數(shù)量積的運算法則化簡已知可得：（$\sqrt{2}a$-c）cosB=bcosC，然后利用正弦定理化簡后，根據(jù)sinA不為0得到cosB的值，根據(jù)B的范圍及特殊角的三角函數(shù)值即可求出B的度數(shù)；
（2）根據(jù)向量的減法法則由|$\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BC}$|=$\sqrt{3}$，得到|$\overrightarrow{CA}$|=$\sqrt{3}$，即得到b的平方等于3，然后根據(jù)余弦定理表示出b的平方，把b的平方代入后，利用基本不等式即可求出ac的最大值，根據(jù)三角形的面積公式，利用ac的最大值及B的度數(shù)求出sinB的值，即可得到面積的最大值．

解答 解：（1）（c-$\sqrt{2}a$）$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}$=c$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{CB}$可化為：（$\sqrt{2}a$-c）cosB=bcosC，
根據(jù)正弦定理有：（$\sqrt{2}$sinA-sinC）cosB=sinBcosC，
即$\sqrt{2}$sinAcosB=sinA，
因為sinA＞0，所以cosB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即B=$\frac{π}{4}$；
（2）因為|$\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BC}$|=$\sqrt{3}$，所以|$\overrightarrow{CA}$|=$\sqrt{3}$，即b²=3，
根據(jù)余弦定理b²=a²+c²-2accosB，
可得a²+c²-$\sqrt{2}$ac=3，
由基本不等式可知3=a²+c²-$\sqrt{2}$ac≥（2-$\sqrt{2}$）ac，
即ac≤$\frac{3}{2}$（2-$\sqrt{2}$），
故△ABC的面積S=$\frac{1}{2}acsinB$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$ac≤$\frac{3\sqrt{2}+3}{4}$，
即當a=c時，△ABC的面積的最大值為$\frac{3\sqrt{2}+3}{4}$．

點評 此題考查學生靈活運用平面向量的數(shù)量積的運算法則，靈活運用正弦、余弦定理及三角形的面積公式化簡求值，是一道綜合題．