Question

3．已知正項數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n²=2a_n-1²+1；
（1）求證：{a_n²+1}是等比數(shù)列；
（2）令b_n=$\frac{2^n}{{{a_n}+{a_{n+1}}}}$，且數(shù)列{b_n}的前n項和為S_n，求S_n•（S_n+2）的值．

Answer 1

分析 （1）將等式兩邊加1，再由等比數(shù)列的定義，即可得證；
（2）運用等比數(shù)列的通項公式，可得a_n=$\sqrt{{2}^{n}-1}$，即有b_n=$\frac{2^n}{{{a_n}+{a_{n+1}}}}$=$\frac{{2}^{n}}{\sqrt{{2}^{n}-1}+\sqrt{{2}^{n+1}-1}}$=$\sqrt{{2}^{n+1}-1}$-$\sqrt{{2}^{n}-1}$，再由數(shù)列的求和方法：裂項相消求和，即可得到所求和，進而得到所求

解答 解：（1）證明：a_n²=2a_n-1²+1，可得a_n²+1=2（a_n-1²+1），
即有{a_n²+1}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列；
（2）由等比數(shù)列的通項公式可得a_n²+1=2ⁿ，
可得a_n=$\sqrt{{2}^{n}-1}$，
即有b_n=$\frac{2^n}{{{a_n}+{a_{n+1}}}}$=$\frac{{2}^{n}}{\sqrt{{2}^{n}-1}+\sqrt{{2}^{n+1}-1}}$
=$\frac{（{2}^{n+1}-1）-（{2}^{n}-1）}{\sqrt{{2}^{n}-1}+\sqrt{{2}^{n+1}-1}}$=$\sqrt{{2}^{n+1}-1}$-$\sqrt{{2}^{n}-1}$，
則S_n=$\sqrt{{2}^{2}-1}$-$\sqrt{2-1}$+$\sqrt{{2}^{3}-1}$-$\sqrt{{2}^{2}-1}$+$\sqrt{{2}^{4}-1}$-$\sqrt{{2}^{3}-1}$+…+$\sqrt{{2}^{n+1}-1}$-$\sqrt{{2}^{n}-1}$
=$\sqrt{{2}^{n+1}-1}$-1，
則S_n•（S_n+2）=（$\sqrt{{2}^{n+1}-1}$-1）（$\sqrt{{2}^{n+1}-1}$+1）=2ⁿ⁺¹-2．

點評 本題考查等比數(shù)列的通項公式，注意運用構造法，考查數(shù)列的求和方法：裂項相消求和，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．