Question

13．已知函數(shù)f（x）=ax³+3x²-6ax-11，g（x）=3x²+6x+12，和直線l：y=kx+9．又f′（-1）=0．
（1）求a的值；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）是否存在k的值，使得直線l既是曲線y=f（x）的切線，又是y=g（x）的切線；如果存在，求出k的值，如果不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于a的方程，求出a的值即可；
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（3）分別求出f（x）和g（x）的切線，從而判定f（x）和g（x）的公切線即可．

解答 解：（1）因?yàn)閒'（x）=3ax²+6x-6a，
所以f'（-1）=0，
即3a-6-6a=0，所以a=-2．
（2）由（1）有f（x）=-2x³+3x²+12x-11，
則f'（x）=-6x²+6x+12=-6（x-2）（x+1），

x	（-∞，-1）	（-1，2）	（2，+∞）
f'（x）	-	+	-
f（x）

所以f（x）的增區(qū)間為（-1，2），減區(qū)間為（-∞，-1），（2，+∞）．
（3）因?yàn)橹本�l恒過點(diǎn)（0，9），
設(shè)直線l切y=g（x）于點(diǎn)$（{x_0}，3x_0^2+6{x_0}+12）$，
因?yàn)間'（x₀）=6x₀+6，
所以切線方程是$y-（3x_0^2+6{x_0}+12）=（6{x_0}+6）（x-{x_0}）$，
將（0，9）代入得x₀=±1．
當(dāng)x₀=-1時(shí)，切線方程為y=9．
當(dāng)x₀=1時(shí)，切線方程為y=12x+9．
令f'（x）=0得-6x²+6x+12=0解之得x=-1或x=2．
當(dāng)x=-1時(shí)，y=f（x）的切線方程是y=-18，
當(dāng)x=2時(shí)，y=f（x）的切線方程是y=9，
所以y=9是曲線y=f（x）與y=g（x）的公切線；
令f'（x）=12得-6x²+6x+12=12解之得x=0或x=1．
當(dāng)x=0時(shí)，y=f（x）的切線方程是y=12x-11，
當(dāng)x=1時(shí)，y=f（x）的切線方程是y=12x-10，
所以y=12x+9不是公切線．
綜上，當(dāng)k=0時(shí)，y=9是曲線y=f（x）與y=g（x）的公切線．

點(diǎn)評 本題考查了切線方程問題，考查函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用問題，是一道綜合題．