Question

8．如圖，圓錐的軸截面PAB是等腰直角三角形，AB的中點為O，C是底面圓周上異于A，B的任意一點，D為線段OC的中點，E為母線PA上一點，且AE=3EP．
（1）證明：ED∥平面PCB；
（2）若二面角A-OP-C的大小為90°，求二面角A-PC-B的余弦值．

Answer 1

分析 （1）如圖，連接AD并延長交BC與點F，取AF中點H，連接OH，PF，由O，H分別是AB，AF的中點，可得OH∥CF，可得ED∥PF，再利用線面平行的判定定理即可證明：ED∥平面PCB．
（2）如圖，以O為坐標原點，OA為x軸正方向，建立空間直角坐標系，設OA=1，設平面PAC的一個法向量為$\overrightarrow{m}$=（x₁，y₁，z₁），由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PA}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AC}=0}\end{array}\right.$，可得$\overrightarrow{m}$．同理可得平面PCB的一個法向量為$\overrightarrow{n}$，利用$cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$即可得出．

解答 （1）證明：如圖，連接AD并延長交BC與點F，取AF中點H，連接OH，PF，
∵O，H分別是AB，AF的中點，
∴OH∥CF，
又∵D為OC中點，
∴$FD=DH=\frac{1}{4}FA$，又$PE=\frac{1}{4}PA$，
∴ED∥PF，
而ED在平面PBC外，PF在平面PBC內(nèi)，
故ED∥平面PCB．
（2）解：如圖，以O為坐標原點，OA為x軸正方向，建立空間直角坐標系，
設OA=1，則各點坐標分別是A（1，0，0），B（-1，0，0），P（0，0，1），
C（0，1，0），則$\overrightarrow{PA}$=（1，0，-1），
$\overrightarrow{AC}$=（-1，1，0）．設平面PAC的一個法向量為$\overrightarrow{m}$=（x₁，y₁，z₁），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PA}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AC}=0}\end{array}\right.$，可得$\left\{{\begin{array}{l}{{x_1}-{z_1}=0}\\{-{x_1}+{y_1}=0}\end{array}}\right.$，可取$\overrightarrow{m}$=（1，1，1），
同理可得平面PCB的一個法向量為
$\overrightarrow{n}$=（-1，1，1），
∴$cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{3}×\sqrt{3}}$=$\frac{1}{3}$，
故二面角A-PC-B的余弦值為$-\frac{1}{3}$．

點評 本題考查了空間位置關(guān)系、線面平行的判定定理、法向量的應用、向量夾角與數(shù)量積的關(guān)系、平行線的性質(zhì)，考查了空間想象能力、推理能力與計算能力，屬于中檔題．