Question

7．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的右焦點到直線x-y+3$\sqrt{2}$=0的距離為5，且橢圓C的一個長軸端點與一個短軸端點間的距離為$\sqrt{10}$．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）給出定點Q（$\frac{{6\sqrt{5}}}{5}$，0），對于橢圓C的任意一條過Q的弦AB，$\frac{1}{{{{|{QA}|}^2}}}$+$\frac{1}{{{{|{QB}|}^2}}}$是否為定值？若是，求出該定值，若不是，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）首先利用焦點到直線的距離求出c，又$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=$\sqrt{10}$，a²=b²+c²，聯(lián)立解出即可得出．
（2）設(shè)直線AB的方程為：x=my+$\frac{6}{\sqrt{5}}$，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．聯(lián)立得到方程組，利用根與系數(shù)的關(guān)系對|QA|與|QB|進(jìn)行轉(zhuǎn)化，要注意對特殊情況進(jìn)行驗證．

解答 解：（1）由右焦點（c，0）到直線x-y+3$\sqrt{2}$=0的距離為5，可得：$\frac{|c+3\sqrt{2}|}{\sqrt{2}}$=5，解得c=2$\sqrt{2}$．
又$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=$\sqrt{10}$，a²=b²+c²，聯(lián)立解得a=3，b=1．
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{9}+{y}^{2}$=1．
（2）當(dāng)直線與x軸重合時，$\frac{1}{{{{|{QA}|}^2}}}$+$\frac{1}{{{{|{QB}|}^2}}}$=$\frac{1}{（\frac{6\sqrt{5}}{5}+3）^{2}}$+$\frac{1}{（\frac{6\sqrt{5}}{5}-3）^{2}}$=10．
當(dāng)直線與x軸不重合時，設(shè)直線AB的方程為：x=my+$\frac{6}{\sqrt{5}}$，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x=my+\frac{6}{\sqrt{5}}}\\{{x}^{2}+9{y}^{2}=9}\end{array}\right.$，化為：（m²+9）y²+$\frac{12m}{\sqrt{5}}$y-$\frac{9}{5}$=0，△＞0，
∴y₁+y₂=$-\frac{12m}{\sqrt{5}（{m}^{2}+9）}$，y₁y₂=$\frac{-9}{5（{m}^{2}+9）}$．
∴$\frac{1}{|QA{|}^{2}}$=$\frac{1}{（{x}_{1}-\frac{6}{\sqrt{5}}）^{2}+{y}_{1}^{2}}$=$\frac{1}{（{m}^{2}+1）{y}_{1}^{2}}$，同理可得：$\frac{1}{|QB{|}^{2}}$=$\frac{1}{（{m}^{2}+1）{y}_{2}^{2}}$．
∴$\frac{1}{{{{|{QA}|}^2}}}$+$\frac{1}{{{{|{QB}|}^2}}}$=$\frac{1}{（{m}^{2}+1）{y}_{1}^{2}}$+$\frac{1}{（{m}^{2}+1）{y}_{2}^{2}}$=$\frac{{y}_{1}^{2}+{y}_{2}^{2}}{（{m}^{2}+1）{y}_{1}^{2}{y}_{2}^{2}}$=$\frac{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-2{y}_{1}{y}_{2}}{（{m}^{2}+1）{y}_{1}^{2}{y}_{2}^{2}}$=$\frac{[\frac{-12m}{\sqrt{5}（{m}^{2}+9）}]^{2}+\frac{2×9}{5（{m}^{2}+9）}}{（{m}^{2}+1）[\frac{-9}{5（{m}^{2}+9）}]^{2}}$=10．
綜上可得：$\frac{1}{{{{|{QA}|}^2}}}$+$\frac{1}{{{{|{QB}|}^2}}}$=10．

點評 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、點到直線的距離公式，考查了分類討論方法、推理能力與計算能力，屬于難題．