Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和滿足a_n+1=

1

3

S_n，且a₁=

1

4

（n∈N^*）
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）b_n=na_n，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用地推關(guān)系證明數(shù)列是等比數(shù)列，然后求出等比數(shù)列的通項公式．
（2）先構(gòu)造數(shù)列然后利用乘公比錯位相減法求數(shù)列的和，進一步求出結(jié)果．

解答： 解：（1）已知an+1=

1

3

Sn①
則：an=

1

3

Sn-1②
①-②得：an+1-an=

1

3

an
整理得：

an+1

an

=

4

3

（常數(shù)）
所以：{a_n}是以a1=

1

4

為首項

4

3

為公比的等比數(shù)列．
an=

1

4

(

4

3

)n-1
（2）由（1）得：an=

1

4

(

4

3

)n-1
則：bn=nan=

n

4

(

4

3

)n-1=

1

4

[n•(

4

3

)n-1]
設(shè)cn=n•(

4

3

)n-1
則S_n=c₁+c₂+…+c_n=1•(

4

3

)0+2•(

4

3

)1+…+n•(

4

3

)n-1③

4

3

Sn=1•(

4

3

)1+2(

4

3

)2+…+n•(

4

3

)n④
所以：③-④得：
（1-

4

3

)Sn=S_n=

1-( 4 3 )n

1- 4 3

-n•(

4

3

)n
解得：Sn=9+(3n-9)(

4

3

)n
所以：T_n=b₁+b₂+…+b_n=

1

4

Sn=

9

4

+

(3n-9)( 4 3 )n

4

點評：本題考查的知識要點：利用遞推關(guān)系式求數(shù)列的通項公式，構(gòu)造新數(shù)列然后利用錯位相減法求數(shù)列的和．屬于基礎(chǔ)題型．