Question

已知AB是拋物線y2=2px（p＞0）上的兩點(diǎn)，且滿足OA⊥OB．
（1）求證：AB兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積，縱坐標(biāo)之積都為定值；
（2）求證：直線AB過(guò)定點(diǎn)；
（3）求AB中點(diǎn)M的軌跡方程．

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程,恒過(guò)定點(diǎn)的直線

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）設(shè)出A，B的坐標(biāo)，代入拋物線方程，結(jié)合OA⊥OB得到x₁x₂=-y₁y₂，然后把y12=2px1，y22=2px2作積得答案；
（2）由y12=2px1，y22=2px2，兩式作差得直線AB的斜率，代入直線方程的點(diǎn)斜式，整理后得到y=

2p

y1+y2

(x-2p)，說(shuō)明直線AB過(guò)定點(diǎn)（2p，0）；
（3）由y12=2px1，y22=2px2得y12+y22=(y1+y2)2-2y1y2=2p(x1+x2)，代入中點(diǎn)坐標(biāo)公式后整理即可得到AB中點(diǎn)M的軌跡方程．

解答： （1）證明：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則y12=2px1，y22=2px2，
∵OA⊥OB，∴x₁x₂+y₁y₂=0，x₁x₂=-y₁y₂，
則y12y22=4p2x1x2=-4p2y1y2，
∴y1y2=-4p2，從而x1x2=4p2；
（2）證明：由y12=2px1，y22=2px2，
兩式作差得：y12-y22=2p(x1-x2)，
∴

y1-y2

x1-x2

=

2p

y1+y2

，即直線AB的斜率為

2p

y1+y2

．
∴直線AB的方程為y-y₁=

2p

y1+y2

(x-x1)，
即y=

2p

y1+y2

x+

y1y2

y1+y2

，也就是y=

2p

y1+y2

(x-2p)．
∴直線AB過(guò)定點(diǎn)（2p，0）；
（3）解：由y12=2px1，y22=2px2，得
y12+y22=(y1+y2)2-2y1y2=2p(x1+x2)，
設(shè)AB中點(diǎn)M（x，y），則（2y）²-2（-4p²）=2p•2x，
即y²+2p²=px．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，考查了直線與圓錐曲線關(guān)系的應(yīng)用，訓(xùn)練了點(diǎn)差法求與中點(diǎn)弦有關(guān)的軌跡問(wèn)題，是中檔題．