Question

13．如圖，在△ABC中，∠B=30°，AC=$\sqrt{5}$，D是邊AB上一點．
（1）求△ABC面積的最大值；
（2）若CD=2，△ACD的面積為2，∠ACD為銳角，求BC的長．

Answer 1

分析 （1）由已知及余弦定理，基本不等式可得$AB•BC≤\frac{5}{{2-\sqrt{3}}}=5（2+\sqrt{3}）$，利用三角形面積公式即可得解△ABC的面積的最大值．
（2）設∠ACD=θ，利用三角形面積公式可解得$sinθ=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$，可求$cosθ=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，由余弦定理得即可解得AD的值，利用正弦定理可求sinA，進而利用正弦定理可求BC的值．

解答 （本題滿分為12分）
解：（1）∵$∠B={30^0}，AC=\sqrt{5}$，
∴由余弦定理可得：$\begin{array}{l}A{C^2}=5=A{B^2}+B{C^2}-2AB•BC•cos∠ABC=A{B^2}+B{C^2}-\sqrt{3}AB•BC≥（2-\sqrt{3}）AB•BC，\end{array}$…（2分）
∴$AB•BC≤\frac{5}{{2-\sqrt{3}}}=5（2+\sqrt{3}）$，…（4分）
∴${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}AB•BCsinB≤\frac{{10+5\sqrt{3}}}{4}$，
所以△ABC的面積的最大值為$\frac{{10+5\sqrt{3}}}{4}$…（6分）
（2）設∠ACD=θ，在△ACD中，${S_{△ACD}}=\frac{1}{2}AC•CD•sinθ$，
∴$\frac{1}{2}×\sqrt{5}×2×sinθ=2$，解得：$sinθ=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$，∴$cosθ=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$…（7分）
由余弦定理得：$A{D^2}=A{C^2}+C{D^2}-2AC•CD•cosθ=5+4-4\sqrt{5}×\frac{{\sqrt{5}}}{5}=5$，
∴$AD=\sqrt{5}$，…（9分）
∵$\frac{AD}{sinθ}=\frac{CD}{sinA}$，∴$\frac{{\sqrt{5}}}{{\frac{{2\sqrt{5}}}{5}}}=\frac{2}{sinA}$，
∴$sinA=\frac{4}{5}$，此時$\frac{BC}{sinA}=\frac{AC}{sinB}$，
∴$BC=\frac{ACsinA}{sinB}=\frac{{8\sqrt{5}}}{5}$．…（12分）

點評 本題主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面積公式，基本不等式，同角三角函數基本關系式在解三角形中的應用，考查了計算能力和轉化思想，屬于中檔題．