Question

【題目】如圖，已知拋物線(xiàn)：，過(guò)焦點(diǎn)斜率大于零的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于、兩點(diǎn)，且與其準(zhǔn)線(xiàn)交于點(diǎn)．

（Ⅰ）若線(xiàn)段的長(zhǎng)為，求直線(xiàn)的方程；

（Ⅱ）在上是否存在點(diǎn)，使得對(duì)任意直線(xiàn)，直線(xiàn)，，的斜率始終成等差數(shù)列，若存在求點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）存在點(diǎn)或，使得對(duì)任意直線(xiàn)，直線(xiàn)，，的斜率始終成等差數(shù)列．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）因?yàn)橹本�(xiàn)過(guò)焦點(diǎn)，所以設(shè)直線(xiàn)，與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立，轉(zhuǎn)化為，利用焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式，，解得直線(xiàn)方程；

（Ⅱ）設(shè)，用坐標(biāo)表示直線(xiàn)的斜率，若成等差數(shù)列，那么,代入（1）的坐標(biāo)后，若恒成立，解得點(diǎn)的坐標(biāo).

試題解析：（Ⅰ）焦點(diǎn)∵直線(xiàn)的斜率不為，所以設(shè)，

， 由得，

，，

，，

∴， ∴． ∴直線(xiàn)的斜率，

∵，∴， ∴直線(xiàn)的方程為．

（Ⅱ）設(shè)，，

同理，，

∵直線(xiàn)，，的斜率始終成等差數(shù)列，

∴恒成立，

即恒成立．

∴，

把，代入上式，得恒成立，．

∴存在點(diǎn)或，使得對(duì)任意直線(xiàn)，直線(xiàn)，，的斜率始終成等差數(shù)列．