Question

3．如圖，平面上有四個點A、B、P、Q，其中A、B為定點，且AB=$\sqrt{3}$，P、Q為動點，滿足AP=PQ=QB=1，又△APB和△PQB的面積分別為S和T，則S²+T²的最大值為$\frac{7}{8}$．

Answer 1

分析 利用三角形面積公式分別表示出S與T，代入S²+T²中，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系化簡，將第一問確定的關(guān)系式代入，利用余弦函數(shù)的性質(zhì)及二次函數(shù)的性質(zhì)求出最大值即可．

解答 解：在△PAB中，由余弦定理得：
PB²=PA²+AB²-2PA•AB•cosA=1+3-2$\sqrt{3}$cosA=4-2$\sqrt{3}$cosA，
在△PQB中，由余弦定理得：
PB²=PQ²+QB²-2PQ•QB•cosQ=2-2cosQ，
∴4-2$\sqrt{3}$cosA=2-2cosQ，即cosQ=$\sqrt{3}$cosA-1
根據(jù)題意得：S=$\frac{1}{2}$PA•AB•sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinA，
T=$\frac{1}{2}$PQ•QB•sinQ=$\frac{1}{2}$sinQ，
∴S²+T²=$\frac{3}{4}$sin²A+$\frac{1}{4}$sin²Q
=$\frac{3}{4}$（1-cos²A）+$\frac{1}{4}$（1-cos²Q）
=-$\frac{3cos2A}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosA+$\frac{3}{4}$
=-$\frac{3}{2}$（cosA-$\frac{\sqrt{3}}{6}$）²+$\frac{7}{8}$，
當cosA=$\frac{\sqrt{3}}{6}$時，
S²+T²有最大值$\frac{7}{8}$，
故答案為：$\frac{7}{8}$．

點評 此題考查了余弦定理，三角形的面積公式，以及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，熟練掌握余弦定理是解本題的關(guān)鍵．