Question

3．已知函數(shù)f（x）=ae^x（a為正實(shí)數(shù)）
（I）求f（x）在區(qū)間[0，+∞）上的最小值；
（Ⅱ）當(dāng)a=1時(shí)，求證：f（x）≥x+1．

Answer 1

分析 （I）通過對(duì)f（x）=ae^x（a為正實(shí)數(shù)）求導(dǎo)，判斷函數(shù)f（x）=ae^x（a為正實(shí)數(shù)）在區(qū)間[0，+∞）上的單調(diào)性，進(jìn)而整理即得結(jié)論；
（Ⅱ）通過分析問題轉(zhuǎn)化為證明e^x-x-1＞0，令g（x）=e^x-x-1，問題即為證明g（x）的最小值為0，通過導(dǎo)數(shù)、結(jié)合單調(diào)性即得結(jié)論．

解答 （I）解：∵f（x）=ae^x（a為正實(shí)數(shù)），e^x＞0，
∴f′（x）=ae^x＞0（a為正實(shí)數(shù)），即函數(shù)f（x）=ae^x（a為正實(shí)數(shù)）在R上單調(diào)遞增，
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，+∞）上的最小值為f（0）=a；
（Ⅱ）證明：當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=e^x，
要證f（x）≥x+1，即證e^x-x-1＞0，
令g（x）=e^x-x-1，則g′（x）=e^x-1，
令g′（x）=e^x-1=0可知x=0，
故當(dāng)x＜0時(shí)，g′（x）=e^x-1＜1-1=0，即g（x）=e^x-x-1在（-∞，0）上單調(diào)遞減，
當(dāng)x＞0時(shí)，g′（x）=e^x-1＞1-1=0，即g（x）=e^x-x-1在（-∞，0）上單調(diào)遞增，
從而當(dāng)x=0時(shí)，g（x）取得最小值g（0）=1-0-1=0，
∴e^x-x-1＞0，即f（x）≥x+1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及證明不等式問題，考查轉(zhuǎn)化思想，注意解題方法的積累，屬于中檔題．