Question

11．已知空間三點(diǎn)A（0，2，3），B（-2，1，6），C（1，-1，5），若向量$\overrightarrow n$分別與向量$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AC}$垂直，且|${\overrightarrow n}$|=$\sqrt{3}$，則向量$\overrightarrow n$的坐標(biāo)為（1，1，1）或（-1，-1，-1）．

Answer 1

分析 設(shè)向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），根據(jù)$\overrightarrow n$分別與向量$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AC}$垂直，且|${\overrightarrow n}$|=$\sqrt{3}$，列出方程組求出x、y、z的值即可．

解答 解：設(shè)向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\overrightarrow{AB}$=（-2，-1，3），
$\overrightarrow{AC}$=（1，-3，2），
由向量$\overrightarrow n$分別與向量$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AC}$垂直，
得$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{AB}$=0，且$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{AC}$=0，
即-2x-y+3z=0①，
且x-3y+2z=0②；
又|${\overrightarrow n}$|=$\sqrt{3}$，∴x²+y²+z²=3③，
由①②③組成方程組，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=1}\\{z=1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=-1}\\{z=-1}\end{array}\right.$；
所以向量$\overrightarrow n$的坐標(biāo)為（1，1，1）或（-1，-1，-1）．
故答案為：（1，1，1）或（-1，-1，-1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算與數(shù)量積運(yùn)算的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．