Question

15．正數(shù)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，已知對(duì)于任意的n∈Z⁺，均有S_n與1正的等比中項(xiàng)等于a_n與1的等差中項(xiàng)．
（1）試求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=$\frac{1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，求證：T_n＜$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （1）由條件等差中項(xiàng)、等比中項(xiàng)的定義，求得：a_n+1-a_n=2，可得數(shù)列{a_n}為公差d=2的等差數(shù)列，再結(jié)合a₁=1，求得{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）先化簡(jiǎn)數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式，再利用裂項(xiàng)法求得它的前n項(xiàng)和，可得結(jié)論．

解答 解：（1）由題意得：$2\sqrt{S_n}={a_n}+1（{n∈{Z^+}}）$，故$4{S_n}={（{{a_n}+1}）^2}$…①，又 $4{S_{n+1}}={（{{a_{n+1}}+1}）^2}$…②，
②-①得：$4（{{S_{n+1}}-{S_n}}）={（{{a_{n+1}}+1}）^2}-{（{{a_n}+1}）^2}$，整理得：（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n-2）=0．
由已知a_n＞0，∴a_n+1+a_n＞0，故a_n+1-a_n-2=0，
即a_n+1-a_n=2，所以數(shù)列{a_n}為公差d=2的等差數(shù)列．
又由$4{S_1}={（{{a_1}+1}）^2}$可得：a₁=1，∴a_n=1+（n-1）•2=2n-1．
（2）由題意可得 ${b_n}=\frac{1}{{{a_n}•{a_{n+1}}}}=\frac{1}{{（{2n-1}）•（{2n+1}）}}=\frac{1}{2}[\frac{1}{{（{2n-1}）}}-\frac{1}{{（{2n+1}）}}]$，
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=$\frac{1}{2}$[1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$=$\frac{1}{2}$[1-$\frac{1}{2n+1}$]＜$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查利用遞推關(guān)系求和，等差中項(xiàng)、等比中項(xiàng)的定義，等差關(guān)系的確定，利用裂項(xiàng)法求和，屬于中檔題．