Question

已知定義在R上的奇函數(shù)f（x）滿足：當(dāng)x＞0時，f（x）=2^x+1．
（Ⅰ）寫出x≤0時函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）當(dāng)x∈[1，2]時，不等式f（4^x）+f（a-5×2^x）≥0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由題意可得當(dāng)x＜0時，-f（x）=f（-x）=2^-x+1，變形可得解析式，結(jié)合f（0）=0易得；
（Ⅱ）問題轉(zhuǎn)化為a≥5×2^x-4^x在x∈[1，2]恒成立，換元由二次函數(shù)區(qū)間的最值可得．

解答： 解：（Ⅰ）∵當(dāng)x＞0時，f（x）=2^x+1，
∴當(dāng)x＜0時-x＞0，∴f（-x）=2^-x+1．
又∵f（x）為R上的奇函數(shù)，∴f（0）=0，
∴-f（x）=f（-x）=2^-x+1，∴f（x）=-2^-x-1，
∴當(dāng)x≤0時，f（x）的解析式為f（x）=

0，x=0 -2-x-1，x＜0

．
（Ⅱ）∵f（x）為R上的奇函數(shù)，
∴原不等式可化為f（4^x）≥-f（a-5×2^x），即f（4^x）≥f（5×2^x-a），
又易判函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)，
∴不等式可化為4^x≥5×2^x-a，即a≥5×2^x-4^x在x∈[1，2]恒成立，
只需求出5×2^x-4^x在x∈[1，2]的最大值即可，
令y=5×2^x-4^x=-（2^x）²+5×2^x，
令t=2^x，則t∈[2，4]，則y=-t²+5t，
由二次函數(shù)可知當(dāng)t=

5

2

時，函數(shù)y=-t²+5t取最大值

25

4

，
∴實數(shù)a的取值范圍為a≥

25

4

點評：本題考查函數(shù)的奇偶性，涉及函數(shù)恒成立和二次函數(shù)區(qū)間的最值，屬中檔題．