Question

19．已知函數(shù)f（x）的定義域是R，f（0）=2，若對任意{x∈R，f（x）+f′（x）＜1}，則不等式e^xf（x）＜e^x+1的解集為（0，+∞）．

Answer 1

分析 令g（x）=e^xf（x）-e^x-1，利用導數(shù)可判斷函數(shù)g（x）的單調(diào)性，由已知條件可得函數(shù)g（x）的零點，由此可解得不等式．

解答 解：令g（x）=e^xf（x）-e^x-1，則g′（x）=e^xf（x）+e^xf′（x）-e^x=e^x[f（x）+f′（x）-1]，
∵f（x）+f′（x）＞1，
∴f（x）+f′（x）-1＞0，
∴g′（x）＞0，即g（x）在R上單調(diào)遞增，
又f（0）=2，∴g（0）=e⁰f（0）-e⁰-1=2-1-1=0，
故當x＞0時，g（x）＞g（0），即e^xf（x）-e^x-1＞0，整理得e^xf（x）＞e^x+1，
∴e^xf（x）＞e^x+1的解集為（0，+∞）．
故答案為：（0，+∞）

點評 本題考查函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)及其應用，考查抽象不等式的求解，考查導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關系，綜合性較強，屬于中檔題．