Question

5．如圖所示，在正方體AC₁中，E，F(xiàn)分別是AB，AA₁的中點(diǎn)．
（1）求證：CE，D₁F，DA三線交于點(diǎn)P；
（2）在（1）的結(jié)論中，G是D₁E上一點(diǎn)，若FG交平面ABCD于點(diǎn)H，求證：P，E，H三點(diǎn)共線．

Answer 1

分析 （1）證明EC與D₁F相交，設(shè)交點(diǎn)為P，再證明P在平面ABCD與平面ABCD的交線上，即可證明CE、D₁F、DA三線共點(diǎn)；
（2）證明P，E，H都在平面PCD₁與平面ABCD的交線上，即可得出P，E，H三點(diǎn)共線．

解答 解：（1）證明：正方體AC₁中，E，F(xiàn)分別是AB，AA₁的中點(diǎn)，
∴EF∥CD₁且EF≠CD₁，∴EC與D₁F相交，設(shè)交點(diǎn)為P，
∵P∈EC，EC⊆平面ABCD，∴P∈平面ABCD；
又∵P∈FD₁，F(xiàn)D₁⊆平面ADD₁A₁，∴P∈平面ADD₁A₁，
∴P為兩平面的公共點(diǎn)，
平面ABCD∩平面ADD₁A₁=AD，∴P∈AD，
∴CE、D₁F、DA三線共點(diǎn)于P；
（2）證明：如圖所示，
在（1）的結(jié)論中，G是D₁E上一點(diǎn)，F(xiàn)G交平面ABCD于點(diǎn)H，
則FH?平面PCD₁，∴H∈平面PCD₁，又H∈平面ABCD，
∴H∈平面PCD₁∩平面ABCD，
同理，P∈平面PCD₁∩平面ABCD，
E∈平面PCD₁∩平面ABCD，
∴P，E，H都在平面PCD₁與平面ABCD的交線上，
∴P，E，H三點(diǎn)共線．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了立體幾何中的點(diǎn)線面的位置關(guān)系與應(yīng)用問題，也考查了數(shù)形結(jié)合與邏輯推理能力，是綜合性題目．