Question

7．如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC，AA₁=3，AB=$\sqrt{3}$，D是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在BB₁上，B₁E=$\frac{1}{6}$BB₁，求證．
（Ⅰ）AC₁∥平面B₁CD；
（Ⅱ）平面A₁C₁E⊥平面B₁CD．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連接BC₁，交B₁C于點(diǎn)F，連接DF，證明DF∥AC₁，即可證明AC₁∥平面B₁CD；
（Ⅱ）先證明A₁E⊥CD，A₁E⊥B₁D，即可證明A₁E⊥平面B₁CD，從而證明平面A₁C₁E⊥平面B₁CD．

解答 證明：（Ⅰ）如圖所示，
連接BC₁，交B₁C于點(diǎn)F，連接DF，則F是BC₁的中點(diǎn)，
∵D是AB的中點(diǎn)，∴DF∥AC₁，
∵AC₁?平面B₁CD，DF?平面B₁CD，
∴AC₁∥平面B₁CD；
（Ⅱ）∵AC=BC，D是AB的中點(diǎn)，∴CD⊥AB；
∵在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
側(cè)面ABB₁A₁⊥底面ABC，且交線為AB，
∴CD⊥平面ABB₁A₁，
又A₁E?平面ABB₁A₁，
∴A₁E⊥CD；
∵矩形ABB₁A₁中，A₁B₁=AB=$\sqrt{3}$，BB₁=AA₁=3，
B₁E=$\frac{1}{6}$BB₁=$\frac{1}{2}$，BD=$\frac{1}{2}$AB，
∴$\frac{{{A}_{1}B}_{1}}{{B}_{1}B}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{{B}_{1}E}{BD}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
∵∠A₁B₁E=∠B₁BD=90°，
∴△A₁B₁E∽△B₁BD，
∴∠B₁A₁E=∠BB₁D；
∴∠B₁A₁E+∠A₁B₁D=∠BB₁D+∠A₁B₁D=∠A₁B₁B=90°，
∴A₁E⊥B₁D；
∵CD∩B₁D=D，CD?平面B₁CD，B₁D?平面B₁CD，
∴A₁E⊥平面B₁CD；
∵A₁E?平面A₁C₁E，
∴平面A₁C₁E⊥平面B₁CD．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了空間中的線面平行，線面垂直與面面垂直的判斷與性質(zhì)的應(yīng)用問題，也考查了邏輯推理能力，是綜合性題目．