Question

3．設(shè)等比數(shù)列{a_n}的前項n和S_n，a₂=$\frac{1}{8}$，且S₁+$\frac{1}{16}$，S₂，S₃成等差數(shù)列，數(shù)列{b_n}滿足b_n=2n．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)c_n=a_nb_n，求數(shù)列{c_n}的前項n和T_n．

Answer 1

分析 （1）由S₁+$\frac{1}{16}$，S₂，S₃成等差數(shù)列，可得$2{S}_{2}={S}_{1}+\frac{1}{16}+{S}_{3}$，化簡為${a}_{2}={a}_{3}+\frac{1}{16}$，又因為${a}_{2}=\frac{1}{8}$，解得a₁和q，即可求出等比數(shù)列的通項公式；
（2）因為{a_n}是等比數(shù)列，{b_n}是等差數(shù)列，而c_n=a_nb_n，故利用錯位相減法即可求出T_n．

解答 解：（1）設(shè)數(shù)列{a_n}的公比為q，
∵${S_1}+\frac{1}{16}，{S_2}，{S_3}$成等差數(shù)列，∴$2{S_2}={S_1}+\frac{1}{16}+{S_3}$，∴${a_2}={a_3}+\frac{1}{16}$，
∵${a_2}=\frac{1}{8}$，∴${a_3}=\frac{1}{16}$，∴$q=\frac{a_3}{a_2}=\frac{1}{2}$，
∴${a_n}={a_2}{q^{n-2}}=\frac{1}{8}•{（\frac{1}{2}）^{n-2}}={（\frac{1}{2}）^{n+1}}$．
（2）設(shè)數(shù)列{c_n}的前項n和為T_n，則T_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n，
又${c_n}={a_n}{b_n}=2n•{（\frac{1}{2}）^{n+1}}=\frac{n}{2^n}$，
∴${T_n}=\frac{1}{2}+\frac{2}{2^2}+\frac{3}{2^3}+…+\frac{n}{2^n}$，$\frac{1}{2}{T_n}=\frac{1}{2^2}+\frac{2}{2^3}+\frac{3}{2^4}+…+\frac{n}{{{2^{n+1}}}}$，
兩式相減得$\frac{1}{2}{T_n}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+…+\frac{1}{2^n}-\frac{n}{{{2^{n+1}}}}=\frac{{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2^n}）}}{{1-\frac{1}{2}}}-\frac{n}{{{2^{n+1}}}}=1-\frac{1}{2^n}-\frac{n}{{{2^{n+1}}}}=1-\frac{n+2}{{{2^{n+1}}}}$，
∴${T_n}=2-\frac{n+2}{2^n}$，

點評 本題主要考查了等比數(shù)列與等差數(shù)列的通項公式及其前n項和公式、“錯位相減法”等基礎(chǔ)知識；考查推理論證與運算求解能力，屬于中檔題．