Question

4．若在$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$上，有兩個不同的實數(shù)值滿足方程$cos2x+\sqrt{3}sin2x$=k+1，則k的取值范圍是[0，1）．

Answer 1

分析 原問題等價于y=sin（2x+$\frac{π}{6}$）與y=$\frac{k+1}{2}$的圖象有兩個不同的交點，由x∈[0，$\frac{π}{2}$]可得2x+$\frac{π}{6}$的范圍，數(shù)形結(jié)合可得．

解答 解：化簡可得cos2x+$\sqrt{3}$sin2x=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），
∴原問題等價于y=sin（2x+$\frac{π}{6}$）與y=$\frac{k+1}{2}$的圖象有兩個不同的交點，
∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，∴2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，
作出圖象可得$\frac{1}{2}$≤$\frac{k+1}{2}$＜，解得0≤k＜1，
故答案為：[0，1）

點評 本題考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，涉及兩角和與差的三角函數(shù)公式和數(shù)形結(jié)合的思想，屬中檔題．