13．證明：若 n∈N +，則3 2n+3-24n+37能被64整除．

分析 把已知式按照二項(xiàng)式定理展開，并花簡(jiǎn)為27（${C}_{n}^{2}$ 82+…+${C}_{n}^{n}$•8n）+64+192n，可得它能被64整除．

解答 證明：∵3 2n+3-24 n+37=27•9 n-24 n+37=27（1+8）n-24 n+37=27（${C}_{n}^{0}$+${C}_{n}^{1}$•8+${C}_{n}^{2}$ 82+…+${C}_{n}^{n}$•8n）-24 n+37
=27（${C}_{n}^{2}$ 82+…+${C}_{n}^{n}$•8n）+27+216n-24 n+37=27（${C}_{n}^{2}$ 82+…+${C}_{n}^{n}$•8n）+64+192n，
由于27（${C}_{n}^{2}$ 82+…+${C}_{n}^{n}$•8n）能被64整除，64+192n 也能被64整除，
∴3 2n+3-24 n+37能被64整除．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，屬于中檔題．

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

3．直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=2$\sqrt{2}$．
（1）寫出C1的普通方程和C2的直角坐標(biāo)方程；
（2）設(shè)點(diǎn)P在C1上，點(diǎn)Q在C2上，求|PQ|的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：填空題

4．若直線l1：2x-ay-1=0與直線l2：x+2y=0垂直，則a=1．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

1．已知函數(shù)f（x）=ex-ax-a，g（x）=$\frac{1}{3}$x3-2x2+3x+$\frac{16}{3}$．
（1）討論f（x）零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；
（2）若?x1∈[-1，2]，?x2∈[-1，2]，使得f（x1）≥g（x2），求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

8．已知函數(shù)f（x）=（x2+ax-a）$\sqrt{x}$．
（1）若a=-4時(shí)，求函數(shù)f（x）的極值；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，2）上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

18．正方體ABCD-A′B′C′D′的棱長(zhǎng)為1，E為線段B′C上的一點(diǎn)，
（Ⅰ）求正方體ABCD-A′B′C′D′的內(nèi)切球的半徑與外接球的半徑；
（Ⅱ）求三棱錐A-DED′的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

5．如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD．
（1）證明：AC⊥PB；
（2）若PD=3，AD=2，求異面直線PB與AD所成角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：選擇題

2．函數(shù)f（x）=Asin（2x-φ）的圖象關(guān)于點(diǎn)（$\frac{4π}{3}$，0）成中心對(duì)稱，則|φ|最小的φ的值為（　�。�
A．$\frac{π}{3}$B．$\frac{π}{6}$C．-$\frac{π}{3}$D．-$\frac{π}{6}$

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

3．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足：Sn=2an-3n（n∈N*）．
（1）求a1，a2的值，
（2）求證：數(shù)列{an+3}是等比數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（3）在數(shù)列{Sn}中取出若干項(xiàng)S${\;}_{{n}_{1}}$，S${\;}_{{n}_{2}}$，S${\;}_{{n}_{3}}$，…，S${\;}_{{n}_{k}}$，…，若數(shù)列{nk}是等差數(shù)列，試判斷數(shù)列{S${\;}_{{n}_{k}}$}是否為等差數(shù)列，并說(shuō)明理由．

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