5.如圖,四棱錐P-ABCD的底面ABCD是正方形,PD⊥平面ABCD.
(1)證明:AC⊥PB;
(2)若PD=3,AD=2,求異面直線PB與AD所成角的余弦值.

分析 (1)線線垂直轉(zhuǎn)化為證明線面垂直,連接BD.PD⊥平面ABCD,可得PD⊥AC,BD⊥AC,可知AC⊥平面PBD,故得AC⊥PB;
(2)異面直線所成的角要轉(zhuǎn)化為平面角,通過(guò)平移相交尋找.底面ABCD是正方形,AD∥BC,可得異面直線PB與AD所成角為∠PBC.在三角形PBC中求解∠PBC的余弦值即可.

解答 解:(1)證明:連接BD.
∵PD⊥平面ABCD,
∴PD⊥AC,
∵底面ABCD是正方形,
∴BD⊥AC,
又PD∩BD=D,
∴AC⊥平面PBD,
∵PB?平面PBD,
∴AC⊥PB.得證.
(2)在Rt△PDB中,$PB={3^2}+{(2\sqrt{2})^2}=\sqrt{17}$.
∵PD⊥平面ABCD,
∴PD⊥BC,又BC⊥CD,
∴BC⊥平面PCD,
∴BC⊥PC.
∵BC∥AD,
∴∠PBC即為異面直線PB與AD所成的角,
∴$cos∠PBC=\frac{BC}{PB}=\frac{{2\sqrt{17}}}{17}$.
故得異面直線PB與AD所成角的余弦值為$\frac{2\sqrt{17}}{17}$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查兩條垂直的證明和異面直線所成角的大小的求法,是中檔題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意空間思維能力的培養(yǎng).

練習(xí)冊(cè)系列答案
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頻率分布直方圖:

頻率分布表:
分組頻數(shù)頻率頻率/組距
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