Question

8．已知函數(shù)f（x）=（x²+ax-a）$\sqrt{x}$．
（1）若a=-4時，求函數(shù)f（x）的極值；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，2）上單調(diào)遞減，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導數(shù)，解關(guān)于導函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）求出函數(shù)的導數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為f'（x）≤0在區(qū)間（1，2）上恒成立，得到關(guān)于a的不等式組，解出即可．

解答 解：（1）$f'（x）=\frac{（5x-2）（x-2）}{{2\sqrt{x}}}$，$f'（x）＞0⇒0＜x＜\frac{2}{5}或x＞2$；
$f'（x）＜0⇒\frac{2}{5}＜x＜2$，$f'（x）=0⇒x=\frac{2}{5}或x=2$，
x，f′（x），f（x）的變換如下表：

x	$（0，\frac{2}{5}）$	$\frac{2}{5}$	$（\frac{2}{5}，2）$	2	（2，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
y	遞增	極大值	遞減	極小值	-遞增

$f{（x）_{極大值}}=f（\frac{2}{5}）=\frac{{64\sqrt{10}}}{125}；f{（x）_{極小值}}=f（2）=0$；
（2）$f'（x）=\frac{{5{x^2}+3ax-a}}{{2\sqrt{x}}}$，f（x）在區(qū)間（1，2）上單調(diào)遞減，
⇒f'（x）≤0在區(qū)間（1，2）上恒成立
$⇒\left\{\begin{array}{l}f'（1）≤0\\ f'（2）≤0\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}5+2a≤0\\ 20+5a≤0\end{array}\right.⇒a≤4$．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，考查導數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．