Question

10．已知等比數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n=3^n-1，數(shù)列{b_n}滿足對任意正整數(shù)n，都有$\frac{_{1}}{{a}_{1}}$+$\frac{_{2}}{{a}_{2}}$+$\frac{_{3}}{{a}_{3}}$+…+$\frac{_{n}}{{a}_{n}}$=2n+1恒成立．
（1）求數(shù)列{b_n}的通項公式；
（2）求b₁+b₂+b₃+…+b₂₀₁₅的值．

Answer 1

分析 （1）通過$\frac{_{1}}{{a}_{1}}$+$\frac{_{2}}{{a}_{2}}$+$\frac{_{3}}{{a}_{3}}$+…+$\frac{_{n}}{{a}_{n}}$=2n+1與$\frac{_{1}}{{a}_{1}}$+$\frac{_{2}}{{a}_{2}}$+$\frac{_{3}}{{a}_{3}}$+…+$\frac{_{n-1}}{{a}_{n-1}}$=2n-1作差，進而驗證當n=1是否成立即可；
（2）利用等比數(shù)列的求和公式可知當n≥2時數(shù)列{b_n}的前n項和T_n，進而代入計算即得結論．

解答 解：（1）∵$\frac{_{1}}{{a}_{1}}$+$\frac{_{2}}{{a}_{2}}$+$\frac{_{3}}{{a}_{3}}$+…+$\frac{_{n}}{{a}_{n}}$=2n+1，
∴當n≥2時，$\frac{_{1}}{{a}_{1}}$+$\frac{_{2}}{{a}_{2}}$+$\frac{_{3}}{{a}_{3}}$+…+$\frac{_{n-1}}{{a}_{n-1}}$=2n-1，
兩式相減得：$\frac{_{n}}{{a}_{n}}$=2，
∵a_n=3^n-1，
∴b_n=2•3^n-1（n≥2），
又∵$\frac{_{1}}{{a}_{1}}$=$\frac{_{1}}{1}$=3，即b₁=3不滿足上式，
∴b_n=$\left\{\begin{array}{l}{3，}&{n=1}\\{2•{3}^{n-1}，}&{n≥2}\end{array}\right.$；
（2）記數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n，則
T_n=3+2•3¹+2•3²+…+2•3^n-1
=3+2•$\frac{3（1-{3}^{n-1}）}{1-3}$
=3ⁿ，
∴b₁+b₂+b₃+…+b₂₀₁₅=3²⁰¹⁵．

點評 本題考查數(shù)列的通項及前n項和，考查運算求解能力，考查分類討論的思想，注意解題方法的積累，屬于中檔題．