Question

4．已知圓C：x²+y²-2x-4y+m=0．（圓心為C）
（1）求m的取值范圍．
（2）當m=4時，若圓C與直線x+ay-4=0交于M，N兩點，且$|{MN}|=\sqrt{2}$，求a的值．

Answer 1

分析 （1）根據圓的一般方程滿足的條件即可求m的取值范圍；
（2）根據直線和圓相交的弦長公式進行求解即可．

解答 解：（1）方程C化為（x-1）²+（y-2）²=5-m，
由5-m＞0，解得m＜5；
（2）當m=4時，圓C方程為（x-1）²+（y-2）²=1
圓心C（1，2），半徑r=1，
∵$|{MN}|=\sqrt{2}$，
∴圓心C（1，2）到直線l：x+ay-4=0的距離為d=$\frac{|2a-3|}{\sqrt{1+{a}^{2}}}$=$\sqrt{1-\frac{1}{2}}$，
∴a=1或$\frac{17}{7}$．

點評 本題主要考查圓的方程的應用以及弦長公式的應用，比較基礎．