Question

5．某學(xué)校研究性學(xué)習(xí)小組對該校高二學(xué)生視力情況進(jìn)行調(diào)查，在高二的全體1000名學(xué)生中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的體檢表，并得到如圖的頻率分布直方圖：
（Ⅰ）若直方圖中后四組的頻數(shù)成等差數(shù)列，試估計全年級視力在5.0以下的人數(shù)；
（Ⅱ）學(xué)習(xí)小組成員發(fā)現(xiàn)，學(xué)習(xí)成績突出的學(xué)生，近視的比較多，為了研究學(xué)生的視力與學(xué)習(xí)成績是否有關(guān)系，對年級名次在1～50名和951～1000名的學(xué)生進(jìn)行了調(diào)查，得到表中數(shù)據(jù)，根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，能否在犯錯的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為視力與學(xué)習(xí)成績有關(guān)系？

年級名次 是否近視	1～50	951～1000
近視	41	32
不近視	9	18

P（K2≥k）	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005
k	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879

附：K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用直方圖中前三組的頻率成等比數(shù)列，后四組的頻率成等差數(shù)列，求出視力在5.0以下的頻率，即可估計全年級視力在5.0以下的人數(shù)；
（Ⅱ）求出K²，與臨界值比較，即可得出結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)各組的頻率為f_i（i=1，2，3，4，5，6），
由圖可知，第一組有3人，第二組7人，第三組27人，…（2分）
因為后四組的頻數(shù)成等差數(shù)列，所以后四組頻數(shù)依次為27，24，21，18…（4分）
所以視力在5.0以下的頻率為3+7+27+24+21=82人，
故全年級視力在5.0以下的人數(shù)約為1000×$\frac{82}{100}$=820．…（6分）
（Ⅱ）K²=$\frac{100×（41×18-32×9）^{2}}{50×50×73×27}$=$\frac{300}{73}$≈4.110＞3.841．…（10分）
因此在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為視力與學(xué)習(xí)成績有關(guān)系．…（12分）

點評 本題考查直方圖，考查獨立性檢驗的應(yīng)用，考查學(xué)生的計算能力，比較基礎(chǔ)．