Question

設定義在（0，+∞）上的函數(shù)f（x）滿足；對任意a，b∈（0，+∞），都有f（b）=f（a）-f（

a

b

），且當x＞1時，f（x）＞0．
（1）求f（1）的值；
（2）判斷并證明函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（3）如果f（3）=1，解不等式f（x）-f（

1

x-8

）＞2．

Answer 1

分析：（1）令a=b=1，得f（1）=f（1）-f（1）=0，即可求出f（1）；
（2）設x₁，x₂∈（0，+∞），設x₁＜x₂，，由已知得出f（x₂）-f（x₁）=f（

x2

x1

），且能得出f（

x2

x1

）＞0，確定出f（x₁）＜f（x₂）后即可判斷出函數(shù)f（x）在R上單調(diào)性．
 （3）由（2），不等式化為f（x（x-8））＞f（9），即

x＞0 x-8＞0 x(x-8)＞0

，利用解不等式的方法得出x的取值范圍．

解答：解：（1）取a=b=1，得f（1）=f（1）-f（1）=0，所以f（1）=0．
（2）函數(shù)在（0，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)．
任取x₁，x₂∈（0，+∞），設x₁＜x₂，則f（x₂）-f（x₁）=f（

x2

x1

），因為0＜x₁＜x₂，所以

x2

x1

＞1，又當x＞1時，有f（x）＞0，所以f（x₂）-f（x₁）=f（

x2

x1

）＞0，即f（x₂）＞f（x₁）．所以f（x）在（0，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)．
（3）若f（3）=1，則2=1+1=f（3）+f（3）=f（9），f（x）-f（

1

x-8

）=f（x（x-8）），則不等式f（x）-f（

1

x-8

）＞2可以化為f（x（x-8））＞f（9），即

x＞0 x-8＞0 x(x-8)＞0

，解得x＞9．即不等式的解集為（9，+∞）．

點評：本題考查抽象函數(shù)求函數(shù)值、單調(diào)性的判定、及單調(diào)性的應用，考查轉(zhuǎn)化、分離參數(shù)的思想方法．牢牢把握所給的關系式，對式子中的字母準確靈活的賦值，變形構造是解決抽象函數(shù)問題常用的思路．