Question

1．已知f（x）=lnx+x，g（x）=$\frac{1}{3}{x^3}+\frac{1}{2}{x^2}$+ax+b，直線l與函數(shù)f（x），g（x）的圖象都相切于點（1，0）
（1）求直線l的方程；
（2）求函數(shù)g（x）的解析式．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)數(shù)，可得切線斜率，即可求出直線l的方程；
（2）利用g′（1）=2，g（1）=0，求出a，b，即可求函數(shù)g（x）的解析式．

解答 解：（1）∵f（x）=lnx+x，
∴f′（x）=$\frac{1}{x}$+1，
∴f′（1）=2，
∴直線l的方程為y=2x-2；
（2）∵g（x）=$\frac{1}{3}{x^3}+\frac{1}{2}{x^2}$+ax+b，
∴g′（x）=x²+x+a，
∴g′（1）=2+a=2，∴a=0，
（1，0）代入g（x）=$\frac{1}{3}{x^3}+\frac{1}{2}{x^2}$+ax+b，可得b=0，
∴g（x）=$\frac{1}{3}{x^3}+\frac{1}{2}{x^2}$．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求切線的斜率，運用導(dǎo)數(shù)的幾何意義和正確求導(dǎo)是解題的關(guān)鍵．