Question

2．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)，雙曲線C上一點(diǎn)P滿足（$\overrightarrow{OP}$+$\overrightarrow{O{F}_{2}}$）•$\overrightarrow{{F}_{2}P}$=0，且|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$|•|$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|=2a²，則雙曲線C的漸近線方程為（　　）

• A． y=±x
• B． y=±$\sqrt{2}$x
• C． y=±$\sqrt{3}$x
• D． y=±2x

Answer 1

分析 設(shè)P為雙曲線右支上一點(diǎn)，|PF₁|=m，|PF₂|=n，|F₁F₂|=2c，運(yùn)用向量的運(yùn)算和數(shù)量積的性質(zhì)可得直角三角形，再由勾股定理和雙曲線的定義，結(jié)合已知條件，由雙曲線的漸近線方程即可得到所求．

解答 解：設(shè)P為雙曲線右支上一點(diǎn)，|PF₁|=m，|PF₂|=n，|F₁F₂|=2c，
由雙曲線的定義可得m-n=2a，
雙曲線C上一點(diǎn)P滿足（$\overrightarrow{OP}$+$\overrightarrow{O{F}_{2}}$）•$\overrightarrow{{F}_{2}P}$=0，
即有（$\overrightarrow{OP}$+$\overrightarrow{O{F}_{2}}$）•（$\overrightarrow{OP}$-$\overrightarrow{O{F}_{2}}$）=0，
可得$\overrightarrow{OP}$²=$\overrightarrow{O{F}_{2}}$²，即|$\overrightarrow{OP}$|=|$\overrightarrow{O{F}_{2}}$|，
點(diǎn)P滿足PF₁⊥PF₂，可得m²+n²=4c²，
即有（m-n）²+2mn=4c²，
又mn=2a²，
可得4a²+4a²=4c²，
即有c=$\sqrt{2}$a，
b=$\sqrt{{c}^{2}-{a}^{2}}$=a，
則雙曲線的漸近線方程為y=±$\frac{a}$x，即為y=±x．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的定義，以及直角三角形的勾股定理，考查漸近線方程的求法，以及運(yùn)算能力，屬于中檔題．