Question

10．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{\frac{2-x}{3+x}}$+ln（3^x$-\frac{1}{3}$）的定義域為M．
（1）求M；
（2）當x∈M時，求g（x）=4${\;}^{x+\frac{1}{2}}$-2^x+2+1的值域．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)f（x）有意義，可得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2-x}{3+x}≥0}\\{{3}^{x}-\frac{1}{3}＞0}\end{array}\right.$，解出x的范圍可得定義域M．
（2）將g（x）化簡，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的問題，利用x∈M時，考查單調(diào)性可得值域．

解答 解：（1）由已知可得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2-x}{3+x}≥0}\\{{3}^{x}-\frac{1}{3}＞0}\end{array}\right.$⇒$\left\{\begin{array}{l}{-3＜x≤2}\\{x＞-1}\end{array}\right.$，
∴-1＜x≤2，
所以M=（-1，2]．
（2）由g（x）=${4}^{x+\frac{1}{2}}$-2^x+2+1=2•2^2x+4•^2x+1=2（2^x-1）²-1，
∵x∈M，即-1＜x≤2，
∴$\frac{1}{2}$＜2^x≤4，
∴當2^x=1，即x=0時，g（x）_min=-1，
當2^x=4，即x=2時，g（x）_max=17，
故得g（x）的值域為[-1，17]．

點評 本題考查定義域的求法和指數(shù)函數(shù)的化簡能力，轉(zhuǎn)化思想，利用二次函數(shù)和指數(shù)的性質(zhì)的單調(diào)性求解值域，屬于函數(shù)函數(shù)性質(zhì)應用題．