Question

已知兩個(gè)非零向量

m

=（

3

sinωx，cosωx），

n

=（cosωx，cosωx），
（1）當(dāng)ω=2，x∈（0，π）時(shí)，向量

m

，

n

共線，求x的值；
（2）若函數(shù)f（x）=

m

•

n

與直線y=

1

2

的任意兩個(gè)交點(diǎn)間的距離為

π

2

①當(dāng)f（

α

2

+

π

24

）=

1

2

+

2

6

，α∈（0，π），求cos2α的值；
②令g（x）=

sinx•cosx

sin x 2 •cos π 2 +1

，x∈[0，

π

2

]，試求函數(shù)g（x）的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：二倍角的余弦,平行向量與共線向量,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）由條件利用兩個(gè)向量共線的性質(zhì)求得tan2x的值，可得2x的值，從而得到x的值．
（2）由條件可得f（x）=sin（2ωx+）+

1

2

的周期為π，求得ω=1，可得f（x）=sin（2x+

π

6

）+

1

2

．
①由f（

α

2

+

π

24

）=

1

2

+

2

6

，α∈（0，π），求得sin（α+

π

4

）的值，可得cos2α=-cos（2α+

π

2

）=-1+2sin2(α+

π

4

)的值；
②由g（x）=

1

2

sin2x，x∈[0，

π

2

]，利用正弦函數(shù)的定義域和值域求得sin2x的范圍，可得函數(shù)g（x）的值域．

解答： 解：（1）當(dāng)ω=2，x∈（0，π）時(shí)，∵非零向量

m

=（

3

sin2x，cos2x），

n

=（cos2x，cos2x），向量

m

，

n

共線，
∴

3 sin2x

cos2x

=

cos2x

cos2x

，即tan2x=

3

3

，∴2x=

π

6

，或2x=

7π

6

，解得x=

π

12

，或x=

7π

12

．
（2）∵函數(shù)f（x）=

m

•

n

=

3

sinωxcosωx+cos²ωx=

3

2

sin2ωx+

1+cos2ωx

2

=sin（2ωx+

π

6

）+

1

2

，
f（x）的圖象與直線y=

1

2

的任意兩個(gè)交點(diǎn)間的距離為

π

2

，
∴f（x）的周期為2×

π

2

=π=

2π

2ω

，∴ω=1，f（x）=sin（2x+

π

6

）+

1

2

．
①∵f（

α

2

+

π

24

）=

1

2

+

2

6

，α∈（0，π），即sin[2•（

α

2

+

π

24

）+

π

6

）+

1

2

=

1

2

+

2

6

，∴sin（α+

π

4

）=

2

6

，
∴cos2α=-cos（2α+

π

2

）=-1+2sin2(α+

π

4

)=-1+2×

2

36

=-

8

9

．
②∵g（x）=

sinx•cosx

sin x 2 •cos π 2 +1

=

sinxcosx

1

=

1

2

sin2x，x∈[0，

π

2

]，∴2x∈[0，π]，∴sin2x∈[0，1]，
故函數(shù)g（x）=

1

2

sin2x 的值域?yàn)閇0，

1

2

]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查兩個(gè)向量共線的性質(zhì)，兩個(gè)向量的數(shù)量積的運(yùn)算，正弦函數(shù)的圖象特征，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于中檔題．