Question

已知實數(shù)x，y滿足x-y+1=0（-1≤x≤4），則（x-3）²+y²的取值范圍是

 

；

y-2

x

的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：直線與圓的位置關系

專題：直線與圓

分析：（x-3）²+y²的表示線段MN：x-y+1=0（-1≤x≤4）上的點（x，y）到A（3，0）點的距離的平方，求得點A到直線x-y+1=0的距離以及A到點M（-1，0）的距離、A到點N（4的距離，數(shù)形結合可得（x-3）²+y²的取值范圍．
由于

y-2

x

表示線段MN上的點（x，y）與點B（0，2）連線的斜率，求得K_BM 和K_BN 的值，數(shù)形結合求得

y-2

x

的取值范圍．

解答： 解：如圖：（x-3）²+y²的表示線段MN：x-y+1=0（-1≤x≤4）上的點（x，y）到A（3，0）點的距離的平方，
點A到直線x-y+1=0的距離為

|3-0+1|

2

=2

2

，A到點M（-1，0）的距離為4，A到點N（4，5）的距離為

(4-3)2+(5-0)2

=

26

，
故（x-3）²+y²的取值范圍是為[2

2

，

26

]．
由于

y-2

x

表示線段MN上的點（x，y）與點B（0，2）連線的斜率，而K_BM=

2-0

0+1

=2，K_BN=

5-2

4-0

=

3

4

，
故

y-2

x

的取值范圍是[2，+∞）∪（-∞，

3

4

]．
故答案為：[2

2

，

26

]；[2，+∞）∪（-∞，

3

4

]．

點評：本題主要考查直線和圓的位置關系，點到直線的距離公式、斜率公式的應用，體現(xiàn)了數(shù)形結合、轉化的數(shù)學思想，屬于基礎題．