Question

18．設(shè)函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}{x^3}+m{x^2}$+1的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），且f′（-1）=3．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到f′（-1）=3，求出m的值，從而求出f（1），f′（1），代入直線方程即可；
（Ⅱ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可．

解答 解：（ I）由f（x）=$\frac{1}{3}{x^3}+m{x^2}$+1，得f′（x）=x²+2mx．…（1分）
因為f′（-1）=3，即1-2m=3．…（2分），所以m=-1．…（3分）
所以$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-{x^2}+1$，f′（x）=x²-2x．
因為$f（1）=\frac{1}{3}$，f'（1）=-1．…（5分）
所以函數(shù)f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y-$\frac{1}{3}$=-（x-1），
即3x+3y-4=0；…（7分）
（Ⅱ）因為f′（x）=x²-2x=x（x-2），…（8分）
令f′（x）＞0，得x＜0或x＞2．…（9分）
所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，0）和（2，+∞）．…（11分）
令f′（x）＜0，得0＜x＜2．…（12分）
所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，2）．…（14分）

點評 本題考查了曲線的切線方程問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性問題，是一道基礎(chǔ)題．