Question

5．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$x²，g（x）=alnx．
（1）若曲線y=f（x）-g（x）在x=1處的切線的方程為6x-2y-5=0，求實數(shù)a的值；
（2）設(shè)h（x）=f（x）+g（x），若對任意兩個不等的正數(shù)x₁，x₂，都有$\frac{{h（{x_1}）-h（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}$＞2恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）若在[1，e]上存在一點x₀，使得f′（x₀）+$\frac{1}{{f'（{x_0}）}}$＜g（x₀）-g′（x₀）成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)y的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率，由切線方程可得a的方程，解得a即可；
（2）由題意可得即為$\frac{h（{x}_{1}）-2{x}_{1}-（h（{x}_{2}）-2{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞0，令m（x）=h（x）-2x，可得m（x）在（0，+∞）遞增，求出導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)大于等于0，分離參數(shù)a，由二次函數(shù)的最值，即可得到a的范圍；
（3）原不等式等價于x₀+$\frac{1}{{x}_{0}}$＜alnx₀-$\frac{a}{{x}_{0}}$，整理得x₀-alnx₀+$\frac{1+a}{{x}_{0}}$＜0，設(shè)m（x）=x-alnx+$\frac{1+a}{x}$，求得它的導(dǎo)數(shù)m'（x），然后分a≤0、0＜a≤e-1和a＞e-1三種情況加以討論，分別解關(guān)于a的不等式得到a的取值，最后綜上所述可得實數(shù)a的取值范圍是（-∞，-2）∪（$\frac{{e}^{2}+1}{e-1}$，+∞）．

解答 解：（1）y=f（x）-g（x）=$\frac{1}{2}$x²-alnx的導(dǎo)數(shù)為x-$\frac{a}{x}$，
曲線y=f（x）-g（x）在x=1處的切線斜率為k=1-a，
由切線的方程為6x-2y-5=0，可得1-a=3，
解得a=-2；
（2）h（x）=f（x）+g（x）=$\frac{1}{2}$x²+alnx，
對任意兩個不等的正數(shù)x₁，x₂，都有$\frac{{h（{x_1}）-h（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}$＞2恒成立，即為
$\frac{h（{x}_{1}）-2{x}_{1}-（h（{x}_{2}）-2{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞0，
令m（x）=h（x）-2x，可得m（x）在（0，+∞）遞增，
由m′（x）=h′（x）-2=x+$\frac{a}{x}$-2≥0恒成立，
可得a≥x（2-x）的最大值，由x（2-x）=-（x-1）²+1可得最大值1，
則a≥1，即a的取值范圍是[1，+∞）；
（3）不等式f′（x₀）+$\frac{1}{{f'（{x_0}）}}$＜g（x₀）-g′（x₀）等價于x₀+$\frac{1}{{x}_{0}}$＜alnx₀-$\frac{a}{{x}_{0}}$，
整理得x₀-alnx₀+$\frac{1+a}{{x}_{0}}$＜0，設(shè)m（x）=x-alnx+$\frac{1+a}{x}$，
則由題意可知只需在[1，e]上存在一點x₀，使得m（x₀）＜0．
對m（x）求導(dǎo)數(shù)，得m′（x）=1-$\frac{a}{x}$-$\frac{1+a}{{x}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}-ax-（1+a）}{{x}^{2}}$=$\frac{（x-a-1）（x+1）}{{x}^{2}}$，
因為x＞0，所以x+1＞0，令x-1-a=0，得x=1+a．
①若1+a≤1，即a≤0時，令m（1）=2+a＜0，解得a＜-2．
②若1＜1+a≤e，即0＜a≤e-1時，m（x）在1+a處取得最小值，
令m（1+a）=1+a-aln（1+a）+1＜0，即1+a+1＜aln（1+a），
可得$\frac{a+1+1}{a}$＜ln（a+1）
考察式子$\frac{t+1}{t-1}$＜lnt，因為1＜t≤e，可得左端大于1，而右端小于1，所以不等式不能成立
③當(dāng)1+a＞e，即a＞e-1時，m（x）在[1，e]上單調(diào)遞減，只需m（e）＜0，得a＞$\frac{{e}^{2}+1}{e-1}$，
又因為e-1-$\frac{{e}^{2}+1}{e-1}$=$\frac{-2e}{e-1}$＜0，則a＞$\frac{{e}^{2}+1}{e-1}$．
綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是（-∞，-2）∪（$\frac{{e}^{2}+1}{e-1}$，+∞）．

點評 本題給出二次函數(shù)和對數(shù)函數(shù)，求切線的方程和函數(shù)的單調(diào)性的運用，著重考查了導(dǎo)數(shù)的公式和運算法則、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)在最大最小值問題中的應(yīng)用等知識，屬于中檔題．