Question

【題目】已知橢圓的短軸長為2，離心率為

（1）求橢圓C的方程；

（2）設(shè)過點M（2，0）的直線l與橢圓C相交于A，B兩點，F(xiàn)1為橢圓的左焦點．

①若B點關(guān)于x軸的對稱點是N，證明：直線AN恒過一定點；

②試求橢圓C上是否存在點P，使F1APB為平行四邊形？若存在，求出F1APB的面積，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）定點；（2）

【解析】試題分析：(1)由短軸長和離心率可以求得，從而得到橢圓的方程．（2）設(shè)出，則直線的方程為： ，利用在直線上，直線的方程又可以轉(zhuǎn)化為，聯(lián)立方程組并消去，利用韋達定理把直線的方程化簡為，從而得到直線過定點．（3）中設(shè)出，因、互相平分，故可用表示，最后利用在橢圓上求出的大小，從而求出平行四邊形的面積．

解析：（1）∵橢圓的短軸長為2，∴，解得，∵離心率為 ，∴ ，解得，∴橢圓的方程為．

（2）證明：①設(shè)過的直線，聯(lián)立，得，∵直線與橢圓交于兩點，∴，即 ．

設(shè)，則 ，∵ 點關(guān)于 軸的對稱點是 ，∴ ．設(shè)直線，∵滿足直線，∴

，∴直線 過定點．

（2）橢圓左焦點 ，設(shè)的中點，則 ， ，假設(shè)存在點使為平行四邊形，則是 的中點，∴， ，即 ，∵在橢圓上，∴ ．整理得 ，解得 或（舍），此時，

左焦點直線的距離，∴平行四邊形的面積．