Question

14．已知函數(shù)f（x）=$\frac{ln（kx）}{x}$在（0，e${\;}^{\frac{3}{2}}$）內(nèi)的最大值為$\frac{1}{e}$．
（Ⅰ）求正實數(shù)k的值；
（Ⅱ）若對任意的x₁，x₂∈（0，e${\;}^{\frac{3}{2}}$]，存在x₀∈（x₁，x₂）使得f′（x₀）=$\frac{f（{x}_{2}）-f（{x}_{1}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$，證明：x₀＜$\sqrt{{x}_{1}{x}_{2}}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的最值的關(guān)系即可求出k的值，
（Ⅱ）由題意轉(zhuǎn)化為（1-$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$）+$\frac{1}{2}$（$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$+1）ln$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$＜0，構(gòu)造函數(shù)g（t）=（1-t）+$\frac{1}{2}$（t+1）lnt，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的最值的關(guān)系即可證明．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=$\frac{1-lnkx}{{x}^{2}}$，當(dāng)0＜k≤$\frac{1}{\sqrt{e}}$時，f（x）_max=f（${e}^{\frac{3}{2}}$）=$\frac{1}{e}$⇒k=${e}^{\sqrt{e}-\frac{3}{2}}$＞$\frac{1}{\sqrt{e}}$，舍去；
當(dāng)k＞$\frac{1}{\sqrt{e}}$時，f（x）_max=f（$\frac{e}{k}$）=$\frac{1}{e}$⇒k=1，
∴k=1．
（Ⅱ）∵f（x）=$\frac{lnx}{x}$，
∴f′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，令m（x）=f′（x），
∴m′（x）=$\frac{-3+2lnx}{{x}^{3}}$＜0，
∴f′（x）在（0，${e}^{\frac{3}{2}}$）上遞減，要證x₀＜$\sqrt{{x}_{1}{x}_{2}}$，只需證明f′（x₀）＞f′（$\sqrt{{x}_{1}{x}_{2}}$），
而f′（$\sqrt{{x}_{1}{x}_{2}}$）-f′（x₀）=$\frac{1-ln\sqrt{{x}_{1}{x}_{2}}}{{x}_{1}{x}_{2}}$-$\frac{f（{x}_{2}）-f（{x}_{1}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=$\frac{\frac{ln{x}_{2}}{{x}_{2}}-\frac{ln{x}_{1}}{{x}_{1}}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=$\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}$[1-ln$\sqrt{{x}_{1}{x}_{2}}$-$\frac{{x}_{1}ln{x}_{2}-{x}_{2}ln{x}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$]，
∴x₁，x₂∈（0，e${\;}^{\frac{3}{2}}$]，x₁-x₂＜0，
只需證明（x₂-x₁）[1-ln$\sqrt{{x}_{1}{x}_{2}}$]-（x₁lnx₂-x₂lnx₁）＜0，
也就是證明（x₂-x₁）+$\frac{1}{2}$（x₂+x₁）ln$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$＜0，
即證（1-$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$）+$\frac{1}{2}$（$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$+1）ln$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$＜0，
令$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$=t，t∈（0，1），即是要證明t∈（0，1）時，（1-t）+$\frac{1}{2}$（t+1）lnt＜0恒成立，
令g（t）=（1-t）+$\frac{1}{2}$（t+1）lnt，g（1）=0，
∴g′（t）=$\frac{tlnt-t-1}{t}$，g′（1）=0，．
設(shè)k（t）=t-tlnt-1，
∴k′（t）=-lnt＜0（t＞1），
∴k（t）在（1，+∞）是減函數(shù)，
∴k（t）＜k（1）=0．
∴g′（t）＜0，
∴g（t）在（1，+∞）是減函數(shù)，
∴g（t）＜g（1）=0，
∴x₀＜$\sqrt{{x}_{1}{x}_{2}}$．

點評 本題考查了導(dǎo)數(shù)在最值中的應(yīng)用，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了換元法和數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想，解答此題的關(guān)鍵是兩次構(gòu)造輔助函數(shù)，是較難的題目．