Question

2．已知函數f（x）=2x³-bx²+cx+d的圖象過點P（0，2），且在點M（1，f（1））處的切線方程為x-y-2=0．
（Ⅰ）求函數y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函數y=f（x）的單調區(qū)間．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數的導數，求出切線方程根據系數相等，求出b，c的值，從而求出函數的表達式；
（Ⅱ）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區(qū)間即可．

解答 解：（Ⅰ）函數f（x）=2x³-bx²+cx+d的圖象過點P（0，2），
∴f（0）=d=2，
f′（x）=6x²-2bx+c，f′（1）=6-2b+c，f（1）=4-b+c，
故切線方程是：y-（4-b+c）=（6-2b+c）（x-1），
即（6-2b+c）x-y+b-2=0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{6-2b+c=1}\\{b-2=-2}\end{array}\right.$，解得：b=0，c=-5，
∴f（x）=2x³-5x+2；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：f（x）=2x³-5x+2，f′（x）=6x²-5，
令f′（x）＞0，解得：x＞$\frac{\sqrt{30}}{6}$或x＜-$\frac{\sqrt{30}}{6}$，
令f′（x）＜0，解得：-$\frac{\sqrt{30}}{6}$＜x＜$\frac{\sqrt{30}}{6}$，
∴f（x）在（-∞，-$\frac{\sqrt{30}}{6}$）遞增，在（-$\frac{\sqrt{30}}{6}$，$\frac{\sqrt{30}}{6}$）遞減，在（$\frac{\sqrt{30}}{6}$，+∞）遞增．

點評 本題考查了函數的單調性問題，考查導數的應用以及切線方程問題，是一道基礎題．