Question

5．已知函數(shù)f（x）=x-alnx（a∈R）．
（1）當(dāng)a=2時，求曲線y=f（x）在點A（1，f（1））處的切線方程；
（2）若對于x∈（1，+∞），f（x）＞0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，得到f（1），f′（1）的值，代入 切線方程即可；
（2）法一：求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，確定f（x）的單調(diào)性，求出f（x）的最小值，得到關(guān)于a的不等式，從而求出a的范圍即可；
法二：分離參數(shù)問題轉(zhuǎn)化為a＜$\frac{x}{lnx}$對于x∈（1，+∞）恒成立?a＜h（x）_min，令$h（x）=\frac{x}{lnx}$，通過討論h（x）的單調(diào)性，求出a的范圍即可．

解答 解：（1）當(dāng)a=2時，f（x）=x-2lnx，f（1）=1，切點為A（1，1），
∴f′（x）=1-$\frac{2}{x}$，∴k=f′（1）=1-2=-1，
∴曲線f（x）在點A（1，1）處的切線方程為：
y-1=-（x-1），即x+y-2=0．
（2）法1：∵${f^'}（x）=1-\frac{a}{x}=\frac{x-a}{x}（x＞1）$
?當(dāng)a≤1時，f′（x）＞0對于x∈（1，+∞）恒成立，
∴f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增；
∴f（x）＞f（1）=1＞0，符合題意；
?當(dāng)a＞1時，當(dāng)x∈（1，a）時f′（x）＜0，
當(dāng)x∈（a，+∞）時，f′（x）＞0，
∴f（x）在（1，a）上單調(diào)遞減，在（a，+∞）上單調(diào)遞增，
∴f（x）_min=f（a）=a-alna，
依題意a-alna＞0?a＜e，又a＞1，∴1＜a＜e，
綜上所述符合題意的a的取值范圍是（-∞，e）
法2：對于x∈（1，+∞）時f（x）＞0恒成立
$?a＜\frac{x}{lnx}$對于x∈（1，+∞）恒成立?a＜h（x）_min，
令$h（x）=\frac{x}{lnx}$，則${h^'}（x）=\frac{lnx-1}{{{{（{lnx}）}^2}}}$，
令h′（x）=0?x=e＞1，
x∈（1，e）時，h′（x）＜0，x∈（e，+∞）時，h′（x）＞0，
∴h（x）在（1，e）遞減，在（e，+∞）遞增，
∴h（x）_min=h（e）=e，∴a＜e
∴所求的實數(shù)a的取值范圍是（-∞，e）．

點評 本題考查了曲線的切線方程問題，考查函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問題，是一道中檔題．