Question

20．設(shè)拋物線y²=8x的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F作直線l與拋物線分別交于A，B兩點(diǎn)，若點(diǎn)M滿足$\overrightarrow{OM}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$），過M作y軸的垂線與拋物線交于點(diǎn)P，若|PF|=4，則M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為6．

Answer 1

分析 根據(jù)已知條件M是AB中點(diǎn)，設(shè)出A和B的坐標(biāo)及直線方程，并將直線方程代入橢圓方程得到關(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系，表示出x₁+x₂和x₁•x₂，并求出P點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)|PF|=4，求得k的值，即可求得M點(diǎn)的橫坐標(biāo)．

解答 解：由題意可知：拋物線y²=8x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為x=-2，M是AB的中點(diǎn)，
設(shè)A（x₁，y₂），B（x₂，y₂），直線AB的方程為y=k（x-2），
將直線方程代入拋物線方程消去y得：k²x²-（4k²+8）+4k²=0，
由根與系數(shù)的關(guān)系：x₁+x₂=$\frac{4{k}^{2}+8}{{k}^{2}}$，x₁•x₂=4，
又設(shè)P（x₀，y₀），y₀=$\frac{1}{2}$（y₂+y₂）=$\frac{1}{2}$[k（x₁-2）+k（x₂-2）]=$\frac{4}{k}$，
∴x₀=$\frac{2}{{k}^{2}}$，
∴P（$\frac{2}{{k}^{2}}$，$\frac{4}{k}$），
|PF|=x₀+2=$\frac{2}{{k}^{2}}$+2=4，
∴k²=1，
∴M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=$\frac{\frac{4{k}^{2}+8}{{k}^{2}}}{2}$=6，
故答案為：6．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的性質(zhì)和應(yīng)用及根與系數(shù)的關(guān)系，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，積累解題方法，屬于中檔題．