Question

3．如圖，在四邊形ABCD中，AB=4，AC=2$\sqrt{3}$，cos∠ACB=$\frac{1}{3}$，∠D=2∠B．
（Ⅰ）求sin∠B；
（Ⅱ）若AB=4AD，求CD的長．

Answer 1

分析 （Ⅰ）運用同角的平方關(guān)系，可得sin∠ACB=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，再由正弦定理，計算即可得到sin∠B；
（Ⅱ）求得AD=1，由∠D=2∠B，可得cos∠D=cos2∠B=1-2sin²∠B=-$\frac{1}{3}$，再由余弦定理，計算即可得到所求值．

解答 解：（Ⅰ）由cos∠ACB=$\frac{1}{3}$，∠ACB∈（0，π），
可得sin∠ACB=$\sqrt{1-（\frac{1}{3}）^{2}}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
由正弦定理可得，$\frac{AC}{sin∠B}$=$\frac{AB}{sin∠ACB}$，
即$\frac{2\sqrt{3}}{sin∠B}$=$\frac{4}{\frac{2\sqrt{2}}{3}}$，解得sin∠B=$\frac{\sqrt{6}}{3}$；
（Ⅱ）由AB=4，AB=4AD，可得AD=1，
由∠D=2∠B，可得cos∠D=cos2∠B=1-2sin²∠B
=1-2×$\frac{2}{3}$=-$\frac{1}{3}$，
由余弦定理可得，cos∠D=$\frac{A{D}^{2}+C{D}^{2}-A{C}^{2}}{2AD•CD}$，
即有$\frac{1+C{D}^{2}-12}{2CD}$=-$\frac{1}{3}$，
即為3CD²+2CD-33=0，
解得CD=3或-$\frac{11}{3}$舍去．

點評 本題考查三角形的正弦定理和余弦定理的運用，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．