Question

15．在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，f（x）=$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OC}$-（2m+$\frac{2}{3}$）•|$\overrightarrow{AB}$|；A、B、C三點(diǎn)滿足滿足$\overrightarrow{OC}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{OA}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{OB}$．
（Ⅰ）求證：A、B、C三點(diǎn)共線；
（Ⅱ）已知A（1，cosx），B（1+cosx，cosx）（0≤x≤$\frac{π}{2}$ ），的最小值為-$\frac{3}{2}$，求實(shí)數(shù)m的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)向量減法的幾何意義，在$\overrightarrow{OC}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{OA}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{OB}$兩邊同減去$\overrightarrow{OA}$，進(jìn)行向量的數(shù)乘運(yùn)算便可得出$\overrightarrow{AC}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AB}$，這樣便可得出三點(diǎn)A，B，C共線；
（Ⅱ）根據(jù)上面容易求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，并求出向量$\overrightarrow{AB}$的坐標(biāo)，從而得出f（x）=（cosx-m）²+1-m²，這樣根據(jù)配方的式子，討論m的取值：m＜0，0≤m≤1，m＞1，這樣即可求出m的值．

解答 解：（Ⅰ）由已知得$\overrightarrow{OC}$-$\overrightarrow{OA}$=$\frac{2}{3}$（$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OA}$）；
即$\overrightarrow{AC}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AB}$；
∴$\overrightarrow{AC}$∥$\overrightarrow{AB}$，
又$\overrightarrow{AC}$、$\overrightarrow{AB}$有公共點(diǎn)A；
∴A，B，C三點(diǎn)共線；
（Ⅱ）由$\overrightarrow{OC}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{OA}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{OB}$，
得C（1+$\frac{2}{3}$cosx，cosx）；
∵$\overrightarrow{AB}$=（cosx，0），
∴f（x）=$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OC}$-（2m+$\frac{2}{3}$）•|$\overrightarrow{AB}$|
=1+$\frac{2}{3}$cosx+cos²x-（2m+$\frac{2}{3}$）cosx
=（cosx-m）²+1-m²；
∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，∴cosx∈[0，1]；
①當(dāng)m＜0時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)cosx=0時(shí)，f（x）取得最小值為1，不合題意舍去；
②當(dāng)0≤m≤1時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)cosx=m時(shí)，f（x）取得最小值為1-m²=-$\frac{3}{2}$，解得m=±$\sqrt{2}$，不合題意舍去；
③當(dāng)m＞1時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)cosx=1時(shí)，f（x）取得最小值2-2m，令2-2m=-$\frac{3}{2}$，解得m=$\frac{7}{4}$；
綜上，m=$\frac{7}{4}$．

點(diǎn)評 本題考查了平面向量的運(yùn)算法則與應(yīng)用問題，也考查了用分類討論法求函數(shù)的最值問題，是綜合性題目．