Question

3．已知非空集合M滿足：若x∈M，則$\frac{1}{1-x}$∈M，則當4∈M時，集合M的所有元素之積等于-1．

Answer 1

分析 根據新定義運算法則“若x∈M，則$\frac{1}{1-x}$∈M”求得集合M的所有元素，然后求其積即可．

解答 解：依題意，得
當4∈M時，有$\frac{1}{1-4}$=-$\frac{1}{3}$∈M，從而$\frac{1}{1+\frac{1}{3}}$=$\frac{3}{4}$∈M，$\frac{1}{1-\frac{3}{4}}$=4∈M，
于是集合M的元素只有4，-$\frac{1}{3}$，$\frac{3}{4}$所有元素之積等于4×（-$\frac{1}{3}$）×$\frac{3}{4}$=-1．
故答案是：-1．

點評 本題考查了元素與集合關系的判斷．解題的關鍵是根據“若x∈M，則$\frac{1}{1-x}$∈M”得到集合M的所有元素．