【題目】已知橢圓C的焦點(diǎn)為(,0),(,0),且橢圓C過(guò)點(diǎn)M(4,1),直線l:不過(guò)點(diǎn)M,且與橢圓交于不同的兩點(diǎn)A,B.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)求證:直線MA,MB與x軸總圍成一個(gè)等腰三角形.
【答案】(1)(2)詳見(jiàn)解析
【解析】
(1)利用橢圓的定義先求出2a的值,可得出的值,再利用a、b、c之間的關(guān)系求出b的值,從而得出橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)將直線l的方程與橢圓C的方程聯(lián)立,列出韋達(dá)定理,利用斜率公式以及韋達(dá)定理計(jì)算出直線MA、MB的斜率互為相反數(shù)來(lái)證明結(jié)論成立.
(1)設(shè)橢圓的方程為,則,解得,
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
(2)將代入并整理得,
則,.
∵直線:與橢圓交于不同的兩點(diǎn),,∴,解得,
∴直線,的斜率存在且不為零.
設(shè)直線,的斜率分別為和,只要證明.
設(shè),,
.
故原命題成立.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn),分別是橢圓 的左、右焦點(diǎn),過(guò)點(diǎn)且與軸垂直的直線與橢圓交于,兩點(diǎn).若為銳角,則該橢圓的離心率的取值范圍是_____
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),其中e是自然數(shù)對(duì)數(shù)的底數(shù),若,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)證明:當(dāng)時(shí),恒成立;
(2)若函數(shù)在上只有一個(gè)零點(diǎn),求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知為定義在上的偶函數(shù),,且當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增,則不等式的解集為__________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某商品在近30天內(nèi)每件的銷售價(jià)格p(元)與時(shí)間t(天)的函數(shù)關(guān)系是該商品的日銷售量Q(件)與時(shí)間t(天)的函數(shù)關(guān)系是Q=-t+40(0<t≤30,t∈N).
(1)求這種商品的日銷售金額的解析式;
(2)求日銷售金額的最大值,并指出日銷售金額最大的一天是30天中的第幾天?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若,畫出函數(shù)的圖象,并指出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某市一次全市高中男生身高統(tǒng)計(jì)調(diào)查數(shù)據(jù)顯示:全市名男生的身高服從正態(tài)分布.現(xiàn)從某學(xué)校高三年級(jí)男生中隨機(jī)抽取名測(cè)量身高,測(cè)量發(fā)現(xiàn)被測(cè)學(xué)生身高全部介于和之間,將測(cè)量結(jié)果按如下方式分組: , ,…, ,得到的頻率分布直方圖如圖所示.
(Ⅰ)試評(píng)估該校高三年級(jí)男生在全市高中男生中的平均身高狀況;
(Ⅱ)求這名男生身高在以上(含)的人數(shù);
(Ⅲ)在這名男生身高在以上(含)的人中任意抽取人,該人中身高排名(從高到低)在全市前名的人數(shù)記力,求的數(shù)學(xué)期望.
參考數(shù)據(jù):若,則,
, .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)()有極小值.
(1)求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(2)若函數(shù)在時(shí)有唯一零點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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