Question

18．已知直線$l：mx+\sqrt{2}ny=2$與圓O：x²+y²=1交于A、B兩點(diǎn)，若△AOB為直角三角形，記點(diǎn)M（m，n）到點(diǎn)P（0，1）、Q（2，0）的距離之和的最大值為（　　）

• A． $2\sqrt{2}+2\sqrt{5}$
• B． $2\sqrt{2}+\sqrt{5}$
• C． $4\sqrt{2}+2\sqrt{5}$
• D． $4\sqrt{2}+\sqrt{5}$

Answer 1

分析 根據(jù)直線和圓的位置關(guān)系以及橢圓的定義即可得到結(jié)論．

解答 解：∵△AOB是直角三角形（O是坐標(biāo)原點(diǎn)），
∴圓心到直線$l：mx+\sqrt{2}ny=2$的距離d=$\frac{2}{\sqrt{{m}^{2}+2{n}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
整理得m²+2n²=8，即$\frac{{m}^{2}}{8}+\frac{{n}^{2}}{4}$=1，焦點(diǎn)為F₁（-2，0），F(xiàn)₂（-2，0）
則點(diǎn)M（m，n）到點(diǎn)P（0，1）、Q（2，0）的距離之和=|MP|-|MF₁|+2a≤|PF₁|+2a=4$\sqrt{2}$+$\sqrt{5}$，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查直線和圓的位置公式的應(yīng)用以及橢圓的定義，考查學(xué)生的計(jì)算能力，正確轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵．