Question

8．已知橢圓C₁：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）．雙曲線C₂：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1的漸近線方程為x$±\sqrt{3}$y=0，則C₁與C₂的離心率之積為（　�。�

• A． $\frac{{\sqrt{15}}}{4}$
• B． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{6}}}{5}$
• D． $\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$

Answer 1

分析 由已知得a=$\sqrt{3}$k，b=k，k＞0，從而得到橢圓C₁的離心率e₁=$\frac{\sqrt{3{k}^{2}-{k}^{2}}}{\sqrt{3}k}$=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$，雙曲線C₂的離心率e₂=$\frac{\sqrt{3{k}^{2}+{k}^{2}}}{\sqrt{3}k}$=$\frac{2}{\sqrt{3}}$，由此能求出C₁與C₂的離心率之積．

解答 解：∵橢圓C₁：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0），雙曲線C₂：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1的漸近線方程為x$±\sqrt{3}$y=0，
∴a=$\sqrt{3}$k，b=k，k＞0，
∴橢圓C₁：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的離心率e₁=$\frac{\sqrt{3{k}^{2}-{k}^{2}}}{\sqrt{3}k}$=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$，
雙曲線C₂：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1的離心率e₂=$\frac{\sqrt{3{k}^{2}+{k}^{2}}}{\sqrt{3}k}$=$\frac{2}{\sqrt{3}}$，
∴C₁與C₂的離心率之積e₁e₂=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}×\frac{2}{\sqrt{3}}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．
故選：D．

點(diǎn)評 本題考查雙曲線的離心率和橢圓的離心率之積的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意橢圓和雙曲線的簡章性質(zhì)的合理運(yùn)用．