Question

17．已知橢圓$E：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$經(jīng)過(guò)點(diǎn)$（{2\sqrt{2}，2}）$，且離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是橢圓E的左，右焦點(diǎn)
（1）求橢圓E的方程；
（2）若點(diǎn)A，B是橢圓E上關(guān)于y軸對(duì)稱兩點(diǎn)（A，B不是長(zhǎng)軸的端點(diǎn)），點(diǎn)P是橢圓E上異于A，B的一點(diǎn)，且直線PA，PB分別交y軸于點(diǎn)M，N，求證：直線MF₁與直線NF₂的交點(diǎn)G在定圓上．

Answer 1

分析 （1）由橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)$（{2\sqrt{2}，2}）$，且離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，列出方程組求出a，b，由此能求出橢圓C的方程．
（2）設(shè)B（x₀，y₀），P（x₁，y₁），則A（-x₀，y₀），直線PA的方程為$y-{y_1}=\frac{{{y_1}-{y_0}}}{{{x_1}+{x_0}}}（{x-{x_1}}）$，從而$M（{0，\frac{{{x_1}{y_0}+{x_0}{y_1}}}{{{x_1}+{x_0}}}}）$，同理得$N（{0，\frac{{{x_1}{y_0}-{x_0}{y_1}}}{{{x_1}-{x_0}}}}）$，由此能證明直線F₁M與直線F₂N交于點(diǎn)G在以F₁F₂為直徑的圓上．

解答 解：（1）∵橢圓$E：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$經(jīng)過(guò)點(diǎn)$（{2\sqrt{2}，2}）$，且離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
∴由條件得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{\frac{8}{{a}^{2}}+\frac{4}{^{2}}=1}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，
解得$a=4，b=c=2\sqrt{2}$，
∴橢圓C的方程$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{8}=1$．…（5分）
證明：（2）設(shè)B（x₀，y₀），P（x₁，y₁），則A（-x₀，y₀）
直線PA的方程為$y-{y_1}=\frac{{{y_1}-{y_0}}}{{{x_1}+{x_0}}}（{x-{x_1}}）$，令x=0，得$y=\frac{{{x_1}{y_0}+{x_0}{y_1}}}{{{x_1}+{x_0}}}$
故$M（{0，\frac{{{x_1}{y_0}+{x_0}{y_1}}}{{{x_1}+{x_0}}}}）$，
同理可得$N（{0，\frac{{{x_1}{y_0}-{x_0}{y_1}}}{{{x_1}-{x_0}}}}）$，
$\overrightarrow{{F_1}M}=（{2\sqrt{2}，\frac{{{x_1}{y_0}+{x_0}{y_1}}}{{{x_1}+{x_0}}}}），\overrightarrow{{F_2}N}=（{-2\sqrt{2}，\frac{{{x_1}{y_0}-{x_0}{y_1}}}{{{x_1}-{x_0}}}}）$，
∴$\overrightarrow{{F_1}M}•\overrightarrow{{F_2}N}=（{2\sqrt{2}，\frac{{{x_1}{y_0}+{x_0}{y_1}}}{{{x_1}+{x_0}}}}）•（{-2\sqrt{2}，\frac{{{x_1}{y_0}-{x_0}{y_1}}}{{{x_1}-{x_0}}}}）=-8+\frac{{{x_1}^2{y_0}^2-{x_0}^2{y_1}^2}}{{{x_1}-{x_0}}}$
=$-8+\frac{{{x_1}^2×8（{1-\frac{{{x_0}^2}}{16}}）-{x_0}^2×8（{1-\frac{{{x_1}^2}}{16}}）}}{{{x_1}^2-{x_0}^2}}=-8+8=0$
∴F₁M⊥F₂N，∴直線F₁M與直線F₂N交于點(diǎn)G在以F₁F₂為直徑的圓上． …（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程的求法，考查兩直線的交點(diǎn)在圓上的證明，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意橢圓性質(zhì)的合理運(yùn)用．