Question

16．設(shè)函數(shù)f（x）=ax1nx+be（其中a，b∈R，e為自然對數(shù)的底數(shù)，e=2.71828…）曲線y=f（x）在點（e，f（e））處的切線方程為y=2x，g（x）=$\frac{2x}{{e}^{x}}$-$\frac{3}{e}$+e．
（1）求a，b；
（2）證明：對任意x₁，x₂∈（0，+∞），f（x₁）≥g（x₂）．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導數(shù)，求得切線的斜率和切點，由切線的方程，可得a，b的方程，解得a，b；
（2）分別求出f（x）、g（x）的導數(shù)，求得單調(diào)區(qū)間和極值、最值，得到f（x）的最小值不小于g（x）的最大值，即可得證．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=ax1nx+be的導數(shù)為f′（x）=a（1+lnx），
可得y=f（x）在點（e，f（e））處的切線斜率為2a，
由切線方程y=2x，可得2a=2，解得a=1．
由切點（e，e+be），可得e+be=2e，解得b=1；
（2）證明：函數(shù)f（x）的導數(shù)為f′（x）=1+lnx，
當x＞$\frac{1}{e}$時，f′（x）＞0，f（x）遞增；
當0＜x＜$\frac{1}{e}$時，f′（x）＜0，f（x）遞減．
即有x=$\frac{1}{e}$處f（x）取得最小值，且為e-$\frac{1}{e}$；
函數(shù)g（x）=$\frac{2x}{{e}^{x}}$-$\frac{3}{e}$+e的導數(shù)為g′（x）=$\frac{2（1-x）}{{e}^{x}}$，
當0＜x＜1時，g′（x）＞0，g（x）遞增；
當x＞1時，g′（x）＜0，g（x）遞減．
可得x=1處g（x）取得最大值，且為e-$\frac{1}{e}$．
綜上可得f（x）≥e-$\frac{1}{e}$≥g（x），
即有對任意x₁，x₂∈（0，+∞），f（x₁）≥g（x₂）．

點評 本題考查導數(shù)的運用：求切線的斜率和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，考查不等式恒成立問題的解法，注意運用轉(zhuǎn)化思想，轉(zhuǎn)化為求最值問題，考查運算能力，屬于中檔題．