Question

11．已知不等式e^x≥1+ax對一切x∈R恒成立，求a的值．

Answer 1

分析 由題意可得e^x-1-ax≥0恒成立，即為0≤e^x-1-ax的最小值．設(shè)f（x）=e^x-1-ax，求得導數(shù)，對a討論，求得單調(diào)區(qū)間和極值、最值，可得a-1-alna≥0，設(shè)g（a）=a-1-alna（a＞0），求出導數(shù)，可得單調(diào)區(qū)間和最大值，進而得到所求a的值．

解答 解：不等式e^x≥1+ax對一切x∈R恒成立，即為
e^x-1-ax≥0恒成立，即為0≤e^x-1-ax的最小值．
設(shè)f（x）=e^x-1-ax，f′（x）=e^x-a，
當a≤0時，e^x＞0，可得f′（x）＞0，f（x）在R上遞增，無最小值；
當a＞0時，由f′（x）＞0可得x＞lna，由f′（x）＜0可得x＜lna，
即有x=lna處，f（x）取得極小值，且為最小值a-1-alna，
則a-1-alna≥0，
設(shè)g（a）=a-1-alna（a＞0），g′（a）=1-（1+lna）=-lna，
當a＞1時，g′（a）＜0，g（a）在（1，+∞）遞減；
當0＜a＜1時，g′（a）＞0，g（a）在（0，1）遞增．
即有a=1處g（a）取得極大值，且為最大值0．
即a-1-alna≤0，
故a-1-alna=0，解得a=1．

點評 本題考查不等式恒成立問題的解法，注意運用構(gòu)造函數(shù)法，求導數(shù)和單調(diào)區(qū)間，求得最值，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．