Question

18．已知a₁，a₂，a₃，…，a_n，…構成一個等差數(shù)列，其前n項和為S_n=n²，設b_n=$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$，記{b_n}的前n項和為T_n．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）證明：T_n＜1．

Answer 1

分析 （1）由S_n=n²，當n≥2時，S_n-1=（n-1）²=n²-2n+1，兩式相減求得a_n=2n-1，驗證當n=1時，是否成立，即可求得數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）求得b_n=$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$=$\frac{2n-1}{{3}^{n}}$，利用“錯位相減法”求得T_n=1-$\frac{n+1}{{3}^{n}}$，即可證明T_n＜1．

解答 解：（1）S_n=n²，
當n=1時，a₁=1，
當n≥2時，S_n-1=（n-1）²=n²-2n+1，
兩式相減得：a_n=2n-1，
當n=1時成立，
數(shù)列{a_n}的通項公式a_n=2n-1；
（2）證明：b_n=$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$=$\frac{2n-1}{{3}^{n}}$，
{b_n}的前n項和為T_n，T_n=$\frac{1}{3}$+$\frac{3}{{3}^{2}}$+$\frac{5}{{2}^{3}}$+…+$\frac{2n-1}{{3}^{n}}$，
$\frac{1}{3}$T_n=$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{3}{{3}^{3}}$+$\frac{5}{{3}^{4}}$+…+$\frac{2n-3}{{3}^{n}}$+$\frac{2n-1}{{3}^{n+1}}$，
兩式相減得：$\frac{2}{3}$T_n=$\frac{1}{3}$+2（$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{4}}$+…+$\frac{1}{{3}^{n}}$）-$\frac{2n-1}{{3}^{n+1}}$，
∴$\frac{2}{3}$T_n=$\frac{2}{3}$-$\frac{2n+2}{{3}^{n+1}}$，
∴T_n=1-$\frac{n+1}{{3}^{n}}$＜1，
∴T_n＜1．

點評 本題考查求數(shù)列的通項公式和前n項和，考查利用“錯位相減法”求數(shù)列的前n項和，屬于中檔題．