Question

7．給定0≤x₀＜1對(duì)一切整數(shù)n＞0，令${x_n}=\left\{\begin{array}{l}2{x_{n-1}}，2{x_{n-1}}＜1\\ 2{x_{n-1}}-1，2{x_{n-1}}≥1\end{array}\right.$，則使x₀=x₆成立的x₀的個(gè)數(shù)為64．

Answer 1

分析 由題意根據(jù)分段函數(shù)的取值范圍，則x₁=2x₀∈[0，$\frac{1}{{2}^{5}}$），x₂=2x₁∈[0，$\frac{1}{{2}^{4}}$），x₃=2x₂∈[0，$\frac{1}{{2}^{3}}$），x₄=2x₃∈[0，$\frac{1}{{2}^{2}}$），x₅=2x₄∈[0，$\frac{1}{2}$），x₆=2x₅，則x₆=2x₅=2²x₄=…=2⁶x₀=x₀，得x₀=0，此時(shí) x₀ 的值有一個(gè)；同理，當(dāng) x₀∈[$\frac{1}{{2}^{4}}$，$\frac{1}{{2}^{3}}$）時(shí)，x₀ 的值有2²個(gè)，當(dāng)x₀∈[$\frac{1}{{2}^{3}}$，$\frac{1}{{2}^{2}}$）時(shí)，x₀ 的值有2³個(gè)，當(dāng)x₀∈[$\frac{1}{{2}^{2}}$，$\frac{1}{2}$）時(shí)，x₀ 的值有2⁴個(gè)，當(dāng)x₀∈[$\frac{1}{2}$，1）時(shí)，x₀ 的值有2⁵個(gè)，綜上，則使 x₀=x₆ 成立的x₀的個(gè)數(shù)為1+1+2+2²+2³+2⁴+2⁵=64個(gè)，

解答 解：．依題意，${x_n}=\left\{\begin{array}{l}2{x_{n-1}}，2{x_{n-1}}＜1\\ 2{x_{n-1}}-1，2{x_{n-1}}≥1\end{array}\right.$，當(dāng)x₀∈[0，$\frac{1}{{2}^{6}}$） 時(shí)，
x₁=2x₀∈[0，$\frac{1}{{2}^{5}}$），x₂=2x₁∈[0，$\frac{1}{{2}^{4}}$），x₃=2x₂∈[0，$\frac{1}{{2}^{3}}$），x₄=2x₃∈[0，$\frac{1}{{2}^{2}}$），x₅=2x₄∈[0，$\frac{1}{2}$），x₆=2x₅，
則x₆=2x₅=2²x₄=…=2⁶x₀=x₀，得x₀=0，此時(shí) x₀ 的值有一個(gè)；
當(dāng)x₀∈[$\frac{1}{{2}^{6}}$，$\frac{1}{{2}^{5}}$） 時(shí)，
x₁=2x₀∈[$\frac{1}{{2}^{5}}$，$\frac{1}{{2}^{4}}$），x₂=2x₁∈[$\frac{1}{{2}^{4}}$，$\frac{1}{{2}^{3}}$），x₃=2x₂∈[$\frac{1}{{2}^{3}}$，$\frac{1}{{2}^{2}}$），x₄=2x₃∈[$\frac{1}{{2}^{2}}$，$\frac{1}{2}$），x₅=2x₄∈[$\frac{1}{2}$，1），x₆=2x₅-1，
故有x₆=2x₅-1=2²x₄-1=…=2⁶x₀-1=x₀，得x₀=$\frac{1}{63}$，此時(shí)x₀ 的值有一個(gè)；
當(dāng)x₀∈[$\frac{1}{{2}^{5}}$，$\frac{1}{{2}^{4}}$） 時(shí)，x₁=2x₀∈[$\frac{1}{{2}^{4}}$，$\frac{1}{{2}^{3}}$），x₂=2x₁∈[$\frac{1}{{2}^{3}}$，$\frac{1}{{2}^{2}}$），x₃=2x₂∈[$\frac{1}{{2}^{2}}$，$\frac{1}{2}$），x₄=2x₃∈[$\frac{1}{2}$，1），x₅=2x₄∈[0，1），x₆=2x₅-1，
當(dāng)x₅∈[0，$\frac{1}{2}$），x₆=2x₅=2（2x₄-1）=…=2⁶x₀-2=x₀，得：x₀=$\frac{2}{63}$，
當(dāng)x₅∈[$\frac{1}{2}$，1），x₆=2x₅=2（2x₄-1）-1=…=2⁶x₀-3=x₀，得：x₀=$\frac{3}{63}$=$\frac{1}{21}$，
此時(shí)x₀ 的值有2個(gè)；
同理，當(dāng) x₀∈[$\frac{1}{{2}^{4}}$，$\frac{1}{{2}^{3}}$）時(shí)，x₀ 的值有2²個(gè)，
當(dāng)x₀∈[$\frac{1}{{2}^{3}}$，$\frac{1}{{2}^{2}}$）時(shí)，x₀ 的值有2³個(gè)，
當(dāng)x₀∈[$\frac{1}{{2}^{2}}$，$\frac{1}{2}$）時(shí)，x₀ 的值有2⁴個(gè)，
當(dāng)x₀∈[$\frac{1}{2}$，1）時(shí)，x₀ 的值有2⁵個(gè)，
綜上，則使 x₀=x₆ 成立的x₀的個(gè)數(shù)為1+1+2+2²+2³+2⁴+2⁵=64個(gè)，
故答案為：64．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等比數(shù)列的定義通項(xiàng)公式、數(shù)學(xué)歸納法、不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．